粟米·第38题：大小竹各几何——假设法的千古智慧

原文

今有出钱五百七十六，买竹七十八个。欲其大小率之，问：各几何？

答曰：其四十八个，个七钱。其三十个，个八钱。

术曰：今有术，本章通术。今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。

白话翻译

现在拿出576钱，买了78根竹子。想按照大小来定价（大竹贵、小竹便宜），问：大竹、小竹各买了多少根？

答：小竹48根，每根7钱；大竹30根，每根8钱。

算法：用今有术（本章通用算法）。今有术说：用"所有数"乘以"所求率"作为被除数（实），用"所有率"作为除数（法），被除数除以除数即可。

示意图

数学解读

一、题意理解：什么是"大小率"

这道题的关键在于理解"欲其大小率之"六个字。竹分大小两种，大竹贵、小竹贱，但题目没有直接给出两种竹的单价。这里的"率"指的是价格，"大小率"即大竹与小竹的单价。

古题有一个隐含约定：两种竹的单价是相邻整数，即相差1钱。这是《九章算术》粟米章中这类问题的通行规则——就像"鸡兔同笼"默认鸡2条腿、兔4条腿一样，这里默认大竹比小竹贵1钱。

因此，设大竹每根8钱，小竹每根7钱，问题转化为：已知总价576钱、总数78根，求两种竹各多少根。

二、现代解法：列方程求解

设大竹 $x$ 根，小竹 $y$ 根，根据题意列方程组：

$$\begin{cases} x + y = 78 \quad \text{(总数)} \\ 8x + 7y = 576 \quad \text{(总价)} \end{cases} \qquad (1)$$

由第一式得 $y = 78 - x$，代入第二式：

$$8x + 7(78 - x) = 576$$ $$8x + 546 - 7x = 576$$ $$x = 30$$

所以 $y = 78 - 30 = 48$。

验算：$30 \times 8 + 48 \times 7 = 240 + 336 = 576$（钱），$30 + 48 = 78$（根）。与答曰完全一致。

三、古术解释：今有术的算法步骤

今有术是粟米章的通术，用于比例分配问题。其标准形式为：

$$\text{所求数} = \frac{\text{所有数} \times \text{所求率}}{\text{所有率}}$$

在这道题中，今有术的应用分为以下步骤：

第一步：求平均价

$$\text{平均价} = \frac{576}{78} = 7\frac{6}{13} \text{（钱/根）}$$

平均价 $7\frac{6}{13}$ 介于7和8之间，说明两种竹的单价确实是7钱和8钱。

第二步：假设法求数量

假设全部买小竹（每根7钱），需要：

$$78 \times 7 = 546 \text{（钱）}$$

实际多出：

$$576 - 546 = 30 \text{（钱）}$$

每根大竹比小竹多1钱，所以大竹数量为：

$$30 \div 1 = 30 \text{（根）}$$

小竹数量为：

$$78 - 30 = 48 \text{（根）}$$

用今有术的格式表达：

$$\text{大竹数} = \frac{(576 - 78 \times 7) \times 1}{1} = \frac{30}{1} = 30$$

其中"所有数"是多出的30钱，"所求率"是差价1钱，"所有率"是每根大竹多1钱。

四、古今对照验证

项目	现代方法	古术方法	结果
大竹数量	方程求解 $x=30$	假设法 $30 \div 1 = 30$	30根
小竹数量	$y = 78 - 30 = 48$	$78 - 30 = 48$	48根
大竹总价	$30 \times 8 = 240$	$30 \times 8 = 240$	240钱
小竹总价	$48 \times 7 = 336$	$48 \times 7 = 336$	336钱
合计	$240 + 336 = 576$	$240 + 336 = 576$	576钱

两种方法结果完全一致，与答曰"其四十八个，个七钱。其三十个，个八钱"逐一对齐。

五、背景与中西比较：假设法的历史

这道题的解法——假设法（先假设全部是一种，再根据差值调整）——在数学史上具有重要意义。

中国：《九章算术》成书于东汉初年（约公元1世纪），其中已系统使用假设法解决此类问题。这道题比西方同类问题的记载早了约1000年。

西方：古希腊《算术》（公元3世纪）中也有类似问题，但解法不如中国系统。欧洲直到中世纪才出现系统的假设法。

本质：假设法的核心思想是"化未知为已知"——先假设一个极端情况，再根据偏差调整。这种思想在现代数学中仍有广泛应用，如线性规划中的"单纯形法"就体现了类似思想。

高中课本关联

1. 二元一次方程组（必修第一册）

本题是典型的二元一次方程组应用题。高考中，此类问题常出现在选择题或填空题中，考查学生列方程、解方程的能力。

2. 假设法（鸡兔同笼）

本题的解法与"鸡兔同笼"问题本质相同。在小学奥数和初中数学中，假设法是重要解题策略。高考中，假设法常用于解决分配问题、浓度问题等。

3. 平均数与分配问题

本题涉及平均价的概念：$576 \div 78 = 7\frac{6}{13}$。高考中，平均数与分配问题常与统计、概率结合考查。

4. 数学文化

《九章算术》是中国古代数学的经典著作，其算法思想对现代数学仍有启发。高考中，数学文化题常以《九章算术》为背景，考查学生对古代算法的理解。

思考与拓展

问题1：如果大竹每根9钱、小竹每根6钱，总价仍为576钱、总数仍为78根，求两种竹各多少根？

提示：设大竹 $x$ 根，小竹 $y$ 根，列方程组 $x + y = 78$，$9x + 6y = 576$，解得 $x = 36$，$y = 42$。

问题2：如果总价改为600钱，大竹8钱、小竹7钱，总数仍为78根，求两种竹各多少根？

提示：设大竹 $x$ 根，小竹 $y$ 根，列方程组 $x + y = 78$，$8x + 7y = 600$，解得 $x = 54$，$y = 24$。

问题3：这道题与"鸡兔同笼"问题有什么联系？试从假设法的角度分析两者的共同点。

提示：两者都是已知总数和总"值"（钱数/腿数），求各部分的数量。解法都是先假设全部是一种，再根据差值调整。

一句话总结

576钱买78根竹，用假设法（今有术）先算平均价 $7\frac{6}{13}$ 钱，确定大竹8钱、小竹7钱，再假设全买小竹需546钱，多出30钱对应30根大竹，最终得大竹30根、小竹48根——这是比西方早千年的假设法智慧。