术名：粟米·第40题——一石二钧丝，按石率贵贱各几何？

原典

今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱石率之，问：各几何？

答曰：其一钧九两一十二铢，石八千五十一钱。其一石一钧二十七斤九两一十七铢，石八千五十二钱。

术曰（其率术，本组石钧斤两率共用）：各置所买石、钧、斤、两以为法，以所率乘钱数为实，实如法而一。不满法者反以实减法，法贱实贵。

白话翻译

现在有人出一万三千九百七十钱，买了丝一石二钧二十八斤三两五铢。想要按照"贵"和"贱"两种价格，以石为单位来分配这些丝，问：贵丝和贱丝各有多重？各值多少钱一石？

答：其中一部分重一钧九两一十二铢，每石值八千零五十一钱；另一部分重一石一钧二十七斤九两一十七铢，每石值八千零五十二钱。

示意图

数学解读

第一步：统一单位，算清总量

古代衡制关系：

$$1\text{石} = 4\text{钧},\quad 1\text{钧} = 30\text{斤},\quad 1\text{斤} = 16\text{两},\quad 1\text{两} = 24\text{铢}$$

所以：

$$1\text{石} = 4 \times 30 \times 16 \times 24 = 46080\text{铢}$$ $$1\text{钧} = 30 \times 16 \times 24 = 11520\text{铢},\quad 1\text{斤} = 384\text{铢}$$

总重量：一石二钧二十八斤三两五铢

$$= 46080 + 2 \times 11520 + 28 \times 384 + 3 \times 24 + 5 = 79949\text{铢}$$

化为石：

$$\text{总石数} = \frac{79949}{46080} \approx 1.7350\text{石}$$

第二步：求均价，定贵贱

以石为计价单位，总价除以总石数：

$$\text{均价} = \frac{13970}{\frac{79949}{46080}} = \frac{13970 \times 46080}{79949} = \frac{643737600}{79949} \approx 8051.853\text{钱/石}$$

均价介于8051与8052之间，因此：

$$\text{贱率} = 8051\text{钱/石},\quad \text{贵率} = 8052\text{钱/石}$$

"法贱实贵"——总重量为"法"对应贱价，总钱数所含盈余对应贵价。

第三步：建立方程组，求解分配

设贵丝（8052钱/石）重 $x$ 石，贱丝（8051钱/石）重 $y$ 石：

$$\begin{cases} x + y = \dfrac{79949}{46080} \\[6pt] 8052x + 8051y = 13970 \end{cases} \qquad (1)$$

由第一式得 $y = \dfrac{79949}{46080} - x$，代入第二式：

$$8052x + 8051\left(\frac{79949}{46080} - x\right) = 13970$$ $$8052x + \frac{8051 \times 79949}{46080} - 8051x = 13970$$ $$x = 13970 - \frac{8051 \times 79949}{46080}$$

化简得：

$$x = \frac{13970 \times 46080 - 8051 \times 79949}{46080} = \frac{643737600 - 643669699}{46080} = \frac{67901}{46080}\text{石}$$

换算为复合单位：

$$\frac{67901}{46080}\text{石} = 1\text{石} + \frac{21821}{46080}\text{石}$$ $$= 1\text{石} + 1\text{钧} + \frac{10301}{46080}\text{石}$$ $$= 1\text{石}1\text{钧} + 27\text{斤} + \frac{329}{46080}\text{石}$$ $$= 1\text{石}1\text{钧}27\text{斤} + 9\text{两} + 17\text{铢}$$ $$\boxed{\text{贵丝} = 1\text{石}1\text{钧}27\text{斤}9\text{两}17\text{铢}}$$

再求 $y$：

$$y = \frac{79949}{46080} - \frac{67901}{46080} = \frac{12048}{46080}\text{石}$$

换算：

$$\frac{12048}{46080}\text{石} = 1\text{钧} + \frac{528}{46080}\text{石}$$ $$= 1\text{钧} + 9\text{两} + 12\text{铢}$$ $$\boxed{\text{贱丝} = 1\text{钧}9\text{两}12\text{铢}}$$

第四步：验证答案

验证重量：

$$68201\text{铢} + 11748\text{铢} = 79949\text{铢} \quad \checkmark$$

验证金额：

$$8052 \times \frac{68201}{46080} + 8051 \times \frac{11748}{46080} = \frac{549262452 + 94587148}{46080} = \frac{643849600}{46080} = 13970 \quad \checkmark$$

古今对照

其率术的核心思想是按相邻两种整数单价做加权分配，与现代数学方法有深刻对应：

方法	核心思想	本题应用
现代方程组	设未知数列方程求解	设两种丝重为 $x, y$，列二元一次方程组
加权平均	均价是两种价格的加权平均	均价8051.853是8051与8052的加权平均
假设法（鸡兔同笼）	假设全为一种，调整差额	假设全为8051钱，差额即为贵丝的重
古代其率术	实如法而一，法贱实贵	以石为法除钱数，取整为贱价，加一为贵价

其率术的精妙在于：不需要解方程组，只需做一次除法取整数部分，就能直接得到两种价格，再用加权关系反推分配——这本质上是一种提前编码的算法，与现代的"先求均价再分配"异曲同工。

高中课本关联

1. 二元一次方程组（必修第一册）：本题的方程组列法是最基本的代数训练。

2. 加权平均数（必修第二册统计）：均价是8051与8052的加权平均，权重分别为贱丝与贵丝的石数占比。

3. 鸡兔同笼与假设法（古代数学文化）：其率术的"假设全为贱价→算差额→求贵丝"与鸡兔同笼的假设法完全同构。

4. 单位换算与数学建模：古代衡制的多级换算（石→钧→斤→两→铢）是数学建模中"统一单位"的经典训练。

高考考法：常以数学文化题形式出现，给出古代数学问题背景，要求用现代方法求解并验证，考查方程思想与建模能力。

思考与拓展

思考题1： 如果丝的总重量恰好是整数石（例如恰好2石），那么贵贱两种价格会是什么？答案会如何变化？

提示： 均价恰好是整数时，不存在"介于两个整数之间"的情况，其率术需要另外处理。

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思考题2： 本题贵贱价差仅为1钱/石。如果市场行情是贵价8100钱/石、贱价8000钱/石，总价和总重不变，两种丝各有多重？

提示： 价差变大后，贵丝和贱丝的重量分配会发生显著变化，但方程组列法不变。

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思考题3： 为什么其率术要"以所率乘钱数为实"，而不是直接用"总钱数÷总重量"？两种算法有什么区别？

提示： "以所率乘钱数"是为了在整数运算体系内避免分数，古人的算筹不擅长处理小数。

一句话总结

其率术以石为单位，用一次除法取整确定贵贱两价，再用加权关系反推两种丝的重量——本质是古人编码在算筹上的"加权分配算法"。