经术术：单位换算中的除法智慧——当古人遇到'每石多少钱'

原文

今有出钱一万三千六百七十，买丝一石二钧一十七斤。欲石率之，问：石几何？

答曰：一石，八千三百二十六钱、一百九十七分钱之一百七十八。

术曰：经术术曰：以所求率乘钱数为实，所买率为法，实如法得一。

白话翻译

现在支出13670钱，买了1石2钧17斤丝。想知道每石丝值多少钱。

答：每石8326又178/197钱。

术文说：用"所求率"（这里是1石）乘以钱数作为被除数（实），用"所买率"（这里是1石2钧17斤）作为除数（法），实除以法就得结果。

示意图

数学解读

一、古代衡制换算

本题的关键在于弄清古代质量单位的关系。秦汉衡制：

$$1\text{石} = 4\text{钧}, \quad 1\text{钧} = 30\text{斤}$$

因此：

$$1\text{石} = 4 \times 30 = 120\text{斤}$$

题目所买丝的数量：

$$1\text{石}\,2\text{钧}\,17\text{斤} = 120 + 60 + 17 = 197\text{斤}$$

二、现代解法

问题：13670钱买了197斤丝，每石（120斤）多少钱？

思路：先求每斤价钱，再乘以120；或者直接用比例。

方法一（先求单价）：

每斤价钱为：

$$\frac{13670}{197}\text{钱/斤}$$

每石价钱为：

$$\frac{13670}{197} \times 120 = \frac{13670 \times 120}{197} = \frac{1640400}{197}\text{钱}$$

做除法：

$$1640400 \div 197 = 8326 \cdots 178$$

即：

$$\frac{1640400}{197} = 8326 + \frac{178}{197}$$

方法二（先求石数）：

总石数为：

$$\frac{197}{120}\text{石}$$

每石价钱为：

$$\frac{13670}{\frac{197}{120}} = \frac{13670 \times 120}{197} = \frac{1640400}{197}$$

结果相同。

三、古术逐句解读

术文："以所求率乘钱数为实，所买率为法，实如法得一。"

• "所求率"：题目要求的计量单位，这里是"1石"。
• "所买率"：实际购买的数量，这里是"1石2钧17斤"。
• "实"：被除数。
• "法"：除数。
• "实如法得一"：被除数除以除数得到结果。

古术的算法是：

$$\text{每石价钱} = \frac{\text{所求率} \times \text{钱数}}{\text{所买率}}$$

代入数值：

$$\text{每石价钱} = \frac{1 \times 13670}{\frac{197}{120}} = \frac{13670 \times 120}{197} = \frac{1640400}{197}$$

四、古今对照验证

古术公式：

$$\frac{\text{所求率} \times \text{钱数}}{\text{所买率}} = \frac{1 \times 13670}{\frac{197}{120}}$$

现代解法：

$$\frac{\text{钱数}}{\text{总石数}} = \frac{13670}{\frac{197}{120}}$$

两者完全一致。古术将"所求率"显式写出，是为了强调"率"的概念——这是一种齐同术思想的体现。

计算验证：

$$\frac{1640400}{197} = 8326\frac{178}{197}$$

与标准答曰"八千三百二十六钱、一百九十七分钱之一百七十八"完全吻合。

五、"经术"的含义

"经术"意为"经常之术"，即通用的方法。本题术文给出的公式：

$$\text{单位量价格} = \frac{\text{目标单位} \times \text{总价}}{\text{实际购买量}}$$

适用于任何"已知总价和总量，求单位量价格"的问题。这里的"率"是《九章算术》的核心概念，表示两个量的比值关系。

六、中西比较

公元1世纪左右成书的《九章算术》已经系统使用"率"的概念解决比例问题。相比之下，古希腊同期的数学（如托勒密《天文学大成》）虽然也有比例理论，但更多用于天文计算，在商业算术中的应用不如《九章算术》系统。古印度7世纪的婆罗摩笈多也研究过类似问题，但时间上晚于《九章算术》数百年。

高中课本关联

知识点：

1. 基本运算：分数除法、单位换算（人教A版必修第一册）
2. 数学建模：将实际问题转化为数学表达式（人教A版必修第一册）
3. 数学文化：《九章算术》中的比例问题常作为数学文化题出现在高考中

高考考法：

• 以数学文化为背景，考查单位换算和基本运算
• 给出古代术文，要求用现代数学语言解释并计算
• 与"率"的概念相关的比例问题

典型题型：给出古代数学问题，要求学生理解题意、建立模型、正确计算。

思考与拓展

练习1：今有出钱五千四百，买米三石五钧。欲石率之，问：石几何？

（提示：5钧=150斤，1石=120斤，总量=120×3+150=510斤=510/120=17/4石）

练习2：解释为什么古术公式中要"以所求率乘钱数"，而不是直接用钱数除以所买率？

（提示：从"齐同术"和"率"的概念角度思考）

练习3：本题答案为$8326\frac{178}{197}$钱。若要将此分数化为小数（精确到0.01），结果是多少？

（提示：$178 \div 197 \approx 0.9036$）

一句话总结

经术术的核心是"以所求率乘钱数为实，所买率为法"——用目标单位乘以总价作为被除数，实际购买量作为除数，体现了《九章算术》以"率"为核心的比例思想，是古代商业数学的精华所在。