术名：粟米第36题——布匹总价怎么算？古人用'今有术'搞定比例

原文

今有出钱二千三百七十，买布九匹二丈七尺。欲匹率之，问：匹几何？

答曰：一匹，二百四十四钱、一百二十九分钱之一百二十四。

术文：今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。

白话翻译

现在有人掏出2370钱，买回来9匹2丈7尺的布。想要以"匹"为单位来估价，问：一匹布值多少钱？

答：一匹布值244钱又124/129钱（约244.96钱）。

示意图

数学解读

第一步：理解题意与单位换算

这道题的关键在于单位换算。题目给的是"9匹2丈7尺"，而要求的是"每匹多少钱"。

古代布匹度量衡：1匹 = 4丈，1丈 = 10尺。

所以总布量换算成"丈"：

$$9\text{匹}2\text{丈}7\text{尺} = 9 \times 4 + 2 + \frac{7}{10} = 36 + 2 + 0.7 = 38.7\text{丈}$$

第二步：用"今有术"列式

"今有术"是《九章算术》粟米章的核心方法，本质上就是比例算法。

术文说："以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。"

逐句解释：

• 所有数：已知的总数，这里是总钱数2370钱
• 所有率：总数对应的"率"，这里是总布量38.7丈
• 所求率：要求的"率"，这里是1匹 = 4丈
• 实：分子 = 所有数 × 所求率
• 法：分母 = 所有率

列式：

$$\text{每匹价钱} = \frac{\text{所有数} \times \text{所求率}}{\text{所有率}} = \frac{2370 \times 4}{38.7}$$

第三步：分数运算（古法今算）

为了精确计算，我们把38.7化成分数：

$$38.7 = \frac{387}{10}$$

所以：

$$\text{每匹价钱} = \frac{2370 \times 4}{\frac{387}{10}} = \frac{2370 \times 4 \times 10}{387} = \frac{94800}{387}$$

做除法：

$$94800 \div 387 = 244 \cdots 372$$

验证：$387 \times 244 = 94428$，$94800 - 94428 = 372$ ✓

所以：

$$\frac{94800}{387} = 244\frac{372}{387}$$

约分：$372 = 3 \times 124$，$387 = 3 \times 129$

$$244\frac{372}{387} = 244\frac{124}{129}$$

与原文答曰完全一致："二百四十四钱、一百二十九分钱之一百二十四"。

第四步：古今对照验证

对比项	古代表述	现代数学
总布量	九匹二丈七尺	38.7丈
所求单位	一匹	4丈
运算方法	今有术（实如法而一）	比例公式 $y = \frac{bx}{a}$
答案	244钱又124/129钱	$244\frac{124}{129} \approx 244.96$钱

第五步："今有术"的本质

"今有术"是《粟米》章的通术，其数学本质是今有术 = 比例求解。

若已知 $a \to b$（所有率对应所有数），求 $x \to y$（所求率对应所求数），则：

$$y = \frac{b \times x}{a}$$

这正是现代数学中的正比例函数：$y = kx$，其中 $k = \frac{b}{a}$ 是比例系数。

在本题中：

• 比例系数 $k = \frac{2370}{38.7}$（每丈多少钱）
• 每匹价钱 $= k \times 4 = \frac{2370 \times 4}{38.7}$

第六步：中西比较

《九章算术》的"今有术"约成书于公元前1世纪，而古印度《阿耶波多算书》（公元499年）中也有类似的比例方法，称为"三率法"（Rule of Three）。

欧洲中世纪的"三率法"（Regula de Tri）通过阿拉伯数学传入，在商业计算中广泛应用。意大利数学家斐波那契《计算之书》（1202年）中详细记载了这种方法。

中国"今有术"比西方"三率法"早出现约1000年，且算法表述更加程序化、规范化，体现了中国古代数学的算法化特征。

高中课本关联

知识点：必修第一册《函数的概念与性质》——正比例函数

本题的核心是正比例关系的应用。若设布量为 $x$ 丈，总价为 $y$ 钱，则：

$$y = \frac{2370}{38.7}x$$

每匹4丈，代入得：

$$y = \frac{2370}{38.7} \times 4 = 244\frac{124}{129}$$

高考考法：

1. 数学文化题：以《九章算术》为背景，考查比例运算或古今对照
2. 应用题：结合单位换算，考查建立函数模型的能力
3. 分数运算：考查带分数与假分数的互化、约分等基本技能

典型变式：若题目改为"欲丈率之"（每丈多少钱），则直接计算 $\frac{2370}{38.7} = 61\frac{29}{129}$ 钱。

思考与拓展

基础题：今有出钱五百，买粟二石三斗。欲石率之，问：石几何？

（提示：1石=10斗，用今有术计算）

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进阶题：今有出钱一千二百，买缣三匹一丈二尺。欲匹率之，问：匹几何？若欲尺率之，问：尺几何？

（提示：1匹=4丈=40尺，分别计算并比较结果）

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拓展题：《九章算术》粟米章共有46题，其中32题使用"今有术"。请查阅原典，找出两道不同类型的"今有术"应用题，分析它们的"所有率"和"所求率"分别是什么，并说明"今有术"的通用性体现在哪里。

一句话总结

"今有术"以"所有数×所求率÷所有率"的固定程序，解决了所有正比例问题——这是中国古代数学算法化智慧的典型体现，也是人类最早的"比例求解公式"之一。