术名：粟米·第35题——一匹缣布几文钱？'今有术'的度量衡换算

原文

今有出钱七百二十，买缣一匹二丈一尺。欲丈率之，问：丈几何？

答曰：一丈，一百一十八钱、六十一分钱之二。

术文：（今有术，本章通术）今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。

白话翻译

现在有720钱，买了一批细绢，长度是一匹二丈一尺。如果按"丈"来计算单价，问：每一丈值多少钱？

答：每一丈值118钱又61分之2钱。

示意图

数学解读

第一步：统一度量单位

本题的关键在于"一匹二丈一尺"这个复合单位。古代布帛的度量制度为：

• 一匹 = 四丈（这是汉制标准）
• 一丈 = 十尺

因此：

$$一匹二丈一尺 = 4丈 + 2丈 + 1尺 = 6丈 + 0.1丈 = 6.1丈 = \frac{61}{10}丈$$

这一步是解题的"前置动作"——把复合量转化为单一分数，为后续比例运算做准备。

第二步：列比例求单价

已知总量720钱对应总量$\frac{61}{10}$丈，求每丈单价。设每丈$x$钱，则：

$$x = \frac{720}{\frac{61}{10}} = 720 \times \frac{10}{61} = \frac{7200}{61}$$

做除法：

$$7200 \div 61 = 118 \cdots 2$$

即：

$$x = 118\frac{2}{61}（钱/丈）$$

用古代表述就是"一百一十八钱、六十一分钱之二"。

第三步：用"今有术"验证

《粟米》章的通用算法是"今有术"，其术文为：

"以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。"

逐句对照本题：

术语	含义	本题对应
所有数	现有的总数（已知量）	720（钱）
所有率	与所有数对应的率（已知单位量）	$\frac{61}{10}$（丈）
所求率	要求的单位率	1（丈）
实	被除数	$720 \times 1 = 720$
法	除数	$\frac{61}{10}$

按术文操作：

$$\text{实} = 720 \times 1 = 720$$ $$\text{法} = \frac{61}{10}$$ $$\text{实如法而一} = \frac{720}{\frac{61}{10}} = \frac{7200}{61} = 118\frac{2}{61}$$

结果完全一致。

第四步：古今对照——"今有术"的本质

"今有术"用现代数学语言表述，就是比例的内项积等于外项积，或更直接地：

$$\frac{\text{所有数}}{\text{所有率}} = \frac{\text{所求数}}{\text{所求率}}$$

交叉相乘即得：

$$\text{所求数} = \frac{\text{所有数} \times \text{所求率}}{\text{所有率}}$$

这正是术文"以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一"的代数表达。

用字母表示：若$a:b = c:d$，则$d = \frac{bc}{a}$。这与现代比例运算完全等价。

第五步：数值核验

$$\frac{7200}{61} = 118 + \frac{2}{61}$$

验证：$118 \times 61 = 7198$，$7200 - 7198 = 2$ ✓

小数近似：$118 + \frac{2}{61} \approx 118.0328$（钱/丈）

高中课本关联

知识点定位：

1. 人教A版必修第一册——等式性质与比例运算
2. 选择性必修第三册——数学文化中的算法案例

高考考法链接：

本题对应的核心能力是单位换算与比例运算，在高考中常以以下形式出现：

• 数学文化题：以《九章算术》原文为素材，考查阅读理解与比例计算（如2022年全国乙卷、2021年新高考卷均有类似题目）
• 实际应用题：涉及复合单位（如"台时""人天"）的单价计算
• 算法案例：程序框图中嵌入"今有术"的比例算法

典型变式：

变式题：今有出钱五百，买漆一斗二升半。欲升率之，问：升几何？

解法完全相同：$500 \div 2.5 = 200$（钱/升），体现"今有术"的通用性。

思考与拓展

练习1： 今有出钱九百八十，买竹一梱，梱有二十枚。欲枚率之，问：一枚几何？

提示： 直接应用今有术，$980 \div 20 = 49$（钱/枚）。

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练习2： 今有出钱一千二百，买粟三斛五斗。欲斛率之，问：一斛几何？

提示： 1斛=10斗，总量为3.5斛。$1200 \div 3.5 = \frac{2400}{7} = 342\frac{6}{7}$（钱/斛）。

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练习3（挑战）： 今有出钱七百二十，买缣一匹二丈一尺。若改为"欲尺率之"，问：一尺几何？

提示： 总量仍为$\frac{61}{10}$丈 = 61尺。$720 \div 61 = 11\frac{49}{61}$（钱/尺）。

验证：丈率$\times 10$应等于尺率的10倍关系，即$118\frac{2}{61} \times 0.1 = 11.803...$，而$11\frac{49}{61} \approx 11.803...$ ✓

一句话总结

"今有术"以比例之理统摄万物——无论布帛、粟米还是漆竹，只要已知总量与单位量，皆可"以所有数乘所求率为实，以所有率为法"求得答案，这正是算法普适性的古典表达。