粟米·第34题：一斛零头的漆，每斗值多少钱

原文

今有出钱五千七百八十五，买漆一斛六斗七升、太半升。欲斗率之，问：斗几何。

答曰：一斗，三百四十五钱、五百三分钱之一十五。

术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。

白话翻译

现在支出5785钱，买得1斛6斗7升又三分之二升的漆。想知道每斗漆的单价，问：一斗多少钱？

答：一斗345又503分之15钱。

示意图

数学解读

第一步：统一单位——把"斛斗升"全部化为"斗"

古代容量单位换算：$1\text{斛}=10\text{斗}$，$1\text{斗}=10\text{升}$，"太半升"即$\dfrac{2}{3}$升。

漆的总量：

$$1\text{斛}\;6\text{斗}\;7\text{升}\;\frac{2}{3}\text{升} = 10\text{斗}+6\text{斗}+\frac{7}{10}\text{斗}+\frac{2}{3}\times\frac{1}{10}\text{斗}$$ $$= 16+\frac{7}{10}+\frac{1}{15} = 16+\frac{21}{30}+\frac{2}{30} = 16+\frac{23}{30} = \frac{503}{30}\text{（斗）}$$

第二步：列式计算单价

$$\text{每斗价格} = \frac{\text{总钱数}}{\text{总斗数}} = \frac{5785}{\dfrac{503}{30}} = 5785\times\frac{30}{503} = \frac{173550}{503}$$

做除法：$173550\div 503 = 345\cdots\cdots15$

$$\frac{173550}{503} = 345\frac{15}{503}\text{（钱/斗）}$$

第三步：对照古术——"今有术"的算法逻辑

术文说："以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。"

逐句拆解：

• 所有数：已知的总数，即5785钱
• 所有率：与所有数对应的"率"，即漆量$\dfrac{503}{30}$斗
• 所求率：要求的单位率，即"每斗"=1斗
• 实：被除数 = 所有数 × 所求率 = $5785\times 1 = 5785$
• 法：除数 = 所有率 = $\dfrac{503}{30}$
• 实如法而一：实除以法，得所求结果

$$\text{每斗价格} = \frac{5785\times 1}{\dfrac{503}{30}} = \frac{5785}{\dfrac{503}{30}} = 5785\times\frac{30}{503} = \frac{173550}{503} = 345\frac{15}{503}$$

第四步：古今对照验证

项目	古代表述	现代数学
漆量	一斛六斗七升太半升	$\dfrac{503}{30}$斗
总价	五千七百八十五钱	5785钱
单价	三百四十五钱、五百三分钱之一十五	$345\dfrac{15}{503}$钱/斗

验证：$345\dfrac{15}{503} = \dfrac{345\times 503+15}{503} = \dfrac{173535+15}{503} = \dfrac{173550}{503}$ ✓

第五步：算法本质——比例与归一化

"今有术"的本质是比例分配的逆运算。若已知"若干量对应若干总价"，求"单位量对应多少总价"，就是归一化处理。

用现代数学语言：

$$\text{单价} = \frac{\text{总价}}{\text{数量}}$$

这与正比例函数 $y=kx$ 中求比例系数 $k$ 完全一致。

本题值得停下来看的是商为什么不是整数。5785 除以 $\dfrac{503}{30}$，等于乘以 $\dfrac{30}{503}$——而 503 是个质数，既不整除 5785 也不整除 30，所以这个分数化不成有限小数，只能写成 $345\dfrac{15}{503}$。这不是题目出的刁钻，是古人日常买卖里的常态：钱数和货量一旦带零头，单价几乎必然是分数。所以《九章算术》的答案永远写成"三百四十五钱、五百三分钱之一十五"，而不是硬凑一个近似值——古人不四舍五入，因为一分钱的误差在整批漆的账上就是几十钱。

第六步：一个容易读错的字

"五百三分钱之一十五"要读对，得分清这两个数是谁：

• 五百零三（$503$）是分母——它来自漆量 $\dfrac{503}{30}$ 斗约分后剩下的那个质数；
• 一十五（$15$）是分子——它是整除后的余数。

读成"五百分之三"就完全错了。古书的"几分之几"四字是固定格式，后一个数是分母，"三"只管"分"，不管"之"后面的数。这一讲的第一遍草稿就在这里栽过。

第七步：中西对照

"今有术"约成书于公元前1世纪，是已知最早的系统化比例算法之一。欧几里得《几何原本》（约公元前300年）第五卷已建立比例理论，但处理的是几何量，不直接给出数值算法；古印度《阿耶波多历算书》（公元499年）有类似法则，晚了约六百年。三者之中，《九章算术》的"所有数×所求率÷所有率"是唯一一套面向日常计算的固定程式——拿来就能除，不必先懂比例为什么成立。

第八步：两种率要对齐

本题里"所有率"是 $\dfrac{503}{30}$ 斗（不是 1）、"所求率"是 1 斗，两者的单位必须都是斗。如果把所有率写成 503 升、所求率还是 1 斗，算出来会小 10 倍。这不是疏忽，是"今有术"最容易错的地方：率是同单位的两个数，实与法才配成除法。

检验自己的办法：算完看一眼量纲——5785 钱 ÷ 斗 = 钱/斗，答案应该是"钱每斗"。如果算出来是"钱每升"，就是某一头的单位缩了。

第九步：换个问法会怎样

如果题目改成"欲升率之"（求每升多少钱），费率变成 $\dfrac{503}{30}\times 10=\dfrac{503}{3}$ 升，于是：

$$\frac{5785}{\dfrac{503}{3}} = \frac{17355}{503} = 34\frac{293}{503}$$

即每升 $34\dfrac{293}{503}$ 钱。可以看到同一个题只差一个单位，答案的整数部分从 345 掉到 34——这正是"率"的作用：它把单位钉死，换了单位整套数字都跟着变。

高中课本关联

知识点：正比例函数、分式运算、单位换算

高考考法：

1. 数学建模：将实际问题抽象为数学表达式，如本题将"买漆"问题转化为分式除法。

2. 分式运算：涉及带分数与假分数的互化、分数的乘除运算，是高考基础题的常见考点。

3. 算法初步：《九章算术》的"今有术"可视为算法案例，与高中数学"算法初步"章节直接对应，常作为数学文化题出现。

典型考题形式：以古代数学典籍为背景，考查阅读理解、数学建模和运算能力。

思考与拓展

题1（基础）：把本题改成"欲升率之"（求每升多少钱），答案是多少？算完和每斗价比一比，看是不是刚好 $\dfrac{1}{10}$。

题2（基础）：今有出钱 10000，买米 3 斛 5 斗 4 升。欲斗率之，问斗几何？（提示：先把 3 斛 5 斗 4 升化成 $\dfrac{177}{5}$ 斗，再走一遍今有术。）

题3（进阶）：已知 10 斗漆值 500 钱，问 30 斗漆值多少钱？——这题的"所有率""所求率"各是什么？注意和本题的区别：这里求的是同向放大，本题求的是单位化。

题4（易错）：有人把"五百三分钱之一十五"读成 $3\dfrac{15}{500}$，算出的单价是 $\dfrac{1503}{500}=3.006$ 钱。请你想一个办法，在不查古书的情况下判断这个读法一定错。

题5（拓展）：《九章算术》粟米章的题几乎都以"今有……问……几何"开头。翻一翻本章前面的几题（如粟求粝米、粝米求凿饭），看看它们用的率是整数比还是分数比——想想为什么本题的率偏偏是 $\dfrac{6}{5}$、$\dfrac{30}{503}$ 这种"不好看"的数。

一句话总结

"今有术"以"所有数 × 所求率 ÷ 所有率"的固定程式，把比例问题变成一步除法——单位对齐、率不凑整，是这道题留给今人的两条教训。