经率术：单价怎么算？古人早就给出了标准公式

原文

今有出钱一万三千五百，买竹二千三百五十个。问：个几何？

答曰：一个，五钱、四十七分钱之三十五。

经率术曰：以所买率为法，所出钱数为实，实如法得一钱。

白话翻译

现在有一笔钱一万三千五百文，买了二千三百五十根竹子。问：每根竹子多少钱？

答：每根竹子五又四十五十七分之三十五文钱。

经率术的方法是：用所买东西的数量作为"法"（除数），用所付出的钱数作为"实"（被除数），用"实"除以"法"，就得到每根竹子的价钱。

示意图

数学解读

一、现代解法：列式计算

题目要求的是单价，根据"单价 = 总价 ÷ 数量"：

$$\text{单价} = \frac{13500}{2350}$$

先约分。分子分母同时除以10：

$$= \frac{1350}{235}$$

再同时除以5：

$$= \frac{270}{47}$$

做除法：$270 \div 47 = 5$ 余 $35$，所以：

$$= 5\frac{35}{47}$$

即每根竹子 五又四十七分之三十五文钱，与原文答案完全一致。

二、古术逐句解读

术文只有短短一句话，却把算法讲得清清楚楚：

"以所买率为法"——把买来的东西数量（2350个）当作"法"（除数）。

"所出钱数为实"——把花掉的钱数（13500钱）当作"实"（被除数）。

"实如法得一钱"——用实除以法，就得到每一根竹子的价钱。

这里的"率"字很关键。在《九章算术》的粟米章里，"率"就是比率、单位量的意思。"经率术"的"经"是"标准、常规"之意，"经率术"就是"标准的比率算法"——已知总价和数量，求单价。

三、为什么叫"经率术"？

"经"有"经常、标准"的意思。这道题的算法极其简单，就是除法，但《九章算术》仍然给它一个专门的"术名"，说明古人认为这是最基础、最常用的比率算法。

在粟米章中，前面有"粟率术"（以粟换各种粮食），后面有"反其率术"（已知单价求数量）。"经率术"是这一系列比率问题的"基准算法"——先定义了"单价怎么算"，后面的问题才能在此基础上展开。

四、古今对照：算法完全一致

对比项	古代	现代
已知	总价13500钱，数量2350个	总价13500，数量2350
求	每根竹子多少钱	单价
算法	实（钱数）÷ 法（个数）	总价 ÷ 数量
结果	5又35/47 钱	270/47 ≈ 5.745 钱

古今算法完全一致，只是表达方式不同。古人用"实"和"法"代替"被除数"和"除数"，用带分数表示结果，本质上就是除法运算。

五、中西比较：同时期的世界

《九章算术》成书于公元一世纪左右。同一时期，罗马的数学家也在处理类似的商业算术问题。

古罗马的算术主要使用罗马数字，计算时依赖算盘，分数运算非常繁琐。而《九章算术》已经使用十进位值制，能够直接进行分数除法，这在当时是相当先进的。

古印度在公元五世纪左右也有类似的算术文献，但《九章算术》的系统性和抽象程度更高——它不是只给出一道题的答案，而是提炼出"经率术"这样的通用算法。

高中课本关联

知识点：有理数的除法、带分数与假分数的互化

这道题直接对应高中数学的"有理数运算"基础。虽然高考不会直接考这么简单的除法，但其中涉及的"约分""带分数化假分数"是基本功。

高考考法：

1. 数学文化题：近年高考常考古代数学文献为背景的题目，如2022年全国卷就考过《九章算术》中的问题。读懂古文、提取数学信息是关键。

2. 算法初步：高中数学有"算法"一章，"经率术"就是一个典型的算法案例——输入总价和数量，输出单价。

3. 实际应用题：单价问题是函数与方程的基础，后续的"反其率术"（已知单价和总价求数量）就是解方程。

思考与拓展

题目1： 如果题目改为"出钱一万三千五百，每根竹子五钱，能买多少根？"该怎么算？

提示：这就是"反其率术"的内容，用总价除以单价。$13500 \div 5 = 2700$ 根。

题目2： 把答案 $5\frac{35}{47}$ 化成小数（保留三位小数），并验算 $5.745 \times 2350$ 是否约等于13500。

计算：$5\frac{35}{47} = \frac{270}{47} \approx 5.745$。验算：$5.745 \times 2350 = 13500.75$，由于四舍五入，略有误差。精确计算：$\frac{270}{47} \times 2350 = 270 \times 50 = 13500$，完全吻合。

题目3： 古人为什么用"实"和"法"来命名被除数和除数？"实"有"实际、实在"之意，"法"有"法则、标准"之意。你能从字义上理解这种命名吗？

提示："实"是被分割的东西（实际的钱数），"法"是分割的标准（物品的个数）。用"实"除以"法"，就是按标准来分配实际的东西。

一句话总结

经率术定义了"单价 = 总价 ÷ 数量"这一最基本的商业算术，用"实除以法"四个字概括了除法的本质——按标准分配实际数量。