术名：粟米·第32题——一块砖背后的比例智慧

原典

今有出钱一百六十，买瓴甓十八枚。问：枚几何？

答曰：一枚，八钱、九分钱之八。

术曰：今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。

白话翻译

现在有一百六十钱，买了十八块瓴甓（一种砖瓦器具）。问：每一枚瓴甓值多少钱？

答：一枚值八钱又九分之八钱。

示意图

数学解读

第一步：理解题意与数据提取

题目给出了三个量中的两个：

• 所有数（总钱数）：160钱
• 所有率（总枚数）：18枚
• 所求率（单价）：？钱/枚

我们要求的是一枚瓴甓的价格，这是一个典型的"已知总量求单位量"的问题。

第二步：现代解法

直接用除法计算单价：

$$\text{单价} = \frac{\text{总钱数}}{\text{总枚数}} = \frac{160}{18} = \frac{80}{9}$$

将假分数化为带分数：

$$\frac{80}{9} = 8\frac{8}{9}$$

所以每枚瓴甓值 $8\frac{8}{9}$ 钱，用古代表述即为"八钱、九分钱之八"。

第三步：古术逐句讲解

粟米章的"今有术"是本章通术，四句话道尽了正比例运算的精髓：

第一句："以所有数乘所求率为实"

• 所有数：题目给出的总数，这里是160钱
• 所求率：我们要求的"率"，即单价
• 实：被除数（古称"实"）

但本题中，我们要求的"率"本身就是未知数，所以这句话在本题中的实际操作是：把所有数160作为"实"。

第二句："以所有率为法"

• 所有率：题目给出的总数对应的率，这里是18枚
• 法：除数（古称"法"）

把18作为"法"。

第三句："实如法而一"

• 实如法：用实除以法
• 一：得到一个结果（单位量）

即：$160 \div 18 = 8\frac{8}{9}$

第四步：古今对照验证

对比项	古代表述	现代数学
总价	一百六十	$160$
数量	十八枚	$18$
运算	实如法而一	$160 \div 18$
答案	八钱、九分钱之八	$8\frac{8}{9} = \frac{80}{9}$

验证计算：

$$8\frac{8}{9} = 8 + \frac{8}{9} = \frac{72}{9} + \frac{8}{9} = \frac{80}{9}$$ $$18 \times \frac{80}{9} = 2 \times 80 = 160 \quad \checkmark$$

古今答案完全一致。

第五步：算法本质——"今有术"的通用结构

"今有术"是《九章算术》粟米章的核心算法，适用于所有正比例问题：

$$\text{所求数} = \frac{\text{所有数} \times \text{所求率}}{\text{所有率}}$$

本题中，"所求率"就是1（求一枚的钱数），所以简化为：

$$\text{单价} = \frac{160 \times 1}{18} = \frac{160}{18} = \frac{80}{9}$$

这与现代数学中的正比例公式 $y = kx$ 本质上是一致的：已知 $x_1$ 对应 $y_1$，求 $x_2$ 对应的 $y_2$，则 $y_2 = \frac{y_1 \cdot x_2}{x_1}$。

第六步：中西比较——"今有术"与"三率法"

"今有术"的算法结构与西方中世纪商业数学中的"三率法"（Rule of Three）完全相同。

三率法最早见于印度数学著作（约公元5世纪），后经阿拉伯传入欧洲，在中世纪商业中被广泛使用。其公式为：

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{x} \Rightarrow x = \frac{b \cdot c}{a}$$

《九章算术》成书于公元1世纪左右，比印度的"三率法"早约四五百年。这说明中国古代数学家已经掌握了正比例运算的完整算法，并将其系统化为一类问题的通用解法。

值得注意的是，"今有术"的表述更加精炼——用"实"和"法"两个概念概括了除法的结构，体现了中国古代数学"以简驭繁"的特点。

高中课本关联

知识点对接：

1. 正比例函数（必修第一册）：本题本质是正比例关系 $y = kx$ 的应用，其中 $k$ 是单价，$x$ 是数量，$y$ 是总价。已知 $x=18, y=160$，求 $k = \frac{y}{x}$。

2. 分数的运算（必修第一册）：答案 $\frac{80}{9}$ 化为带分数 $8\frac{8}{9}$，涉及假分数与带分数的互化、约分等基本技能。

3. 算法初步（必修第三册）："今有术"四句口诀可以看作一个完整的算法描述，与现代编程中的函数定义类似——输入"所有数""所有率""所求率"，输出"所求数"。

高考考法链接：

这类题目在高考中常以数学文化题的形式出现，例如：

• 以《九章算术》原文为背景，要求理解古算法并计算
• 将"今有术"与程序框图结合，考查算法理解
• 与"率"的概念结合，考查正比例关系的实际应用

思考与拓展

基础题： 今有出钱七百二十，买瓴甓四十五枚。问：枚几何？

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$$\frac{720}{45} = 16$$

答：一枚十六钱。

进阶题： 今有出钱若干，买瓴甓三十枚，每枚值五钱六分钱之一。问：出钱几何？

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"五钱六分钱之一"即 $5\frac{1}{6} = \frac{31}{6}$ 钱。

$$\text{总钱数} = 30 \times \frac{31}{6} = 5 \times 31 = 155$$

答：出钱一百五十五。

挑战题： 今有出钱一百六十，买瓴甓十八枚；今有出钱二百八十，买瓴甓三十枚。问：两次购买，每枚差价几何？

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第一次单价：$\frac{160}{18} = \frac{80}{9}$ 钱

第二次单价：$\frac{280}{30} = \frac{28}{3} = \frac{84}{9}$ 钱

差价：$\frac{84}{9} - \frac{80}{9} = \frac{4}{9}$ 钱

答：第二次比第一次每枚贵九分钱之四。

一句话总结

"今有术"以"实如法而一"四字，道破正比例运算的本质——总价除以数量即得单价，这一算法早于西方"三率法"数百年，是中国古代数学系统化的典范之作。