粟米·第31题：麦一斗化大䵂——古人怎么算粮食兑换？

原典

今有麦一斗，欲为大䵂。问：得几何？

答曰：为大䵂一斗二升。

术曰：以麦求大䵂，六之，五而一。

白话翻译

现在有麦子1斗，想把它磨成"大䵂"（一种精细面粉）。问：能得到多少？

答：能得到大䵂1斗2升。

计算法则：已知麦子求大䵂，把麦子数量乘以6，再除以5。

示意图

数学解读

一、现代解法：按比例计算

题目给出的兑换关系是：6份麦子 → 5份大䵂

已知麦子 = 1斗 = 10升

设得到大䵂 $x$ 升，根据比例关系：

$$\frac{\text{麦子}}{\text{大䵂}} = \frac{6}{5}$$ $$\frac{10}{x} = \frac{6}{5}$$

交叉相乘得：

$$6x = 50$$ $$x = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \text{（升）}$$

实际上，古术说"六之，五而一"，即"先乘以6，再除以5"：

$$\text{大䵂} = 10 \times 6 \div 5 = \frac{60}{5} = 12 \text{（升）}$$

12升 = 1斗2升

这与答曰"为大䵂一斗二升"完全一致。

二、古术逐句解释

"以麦求大䵂"：说明这是从麦子出发，求大䵂的数量。"以A求B"是粟米章的标准表述，表明A是已知量，B是待求量。

"六之"：把已知量（麦子）乘以6。这里的"6"是大䵂兑换率中的"率"——即兑换比的前项。

"五而一"：把上一步的结果除以5。这里的"5"是兑换比的后项。

用现代公式表示：

$$\text{大䵂} = \text{麦子} \times \frac{6}{5}$$

三、古今对照验证

步骤	古术表述	现代运算	数值
初始	麦一斗	10升	10
第一步	六之	10 × 6	60
第二步	五而一	60 ÷ 5	12
结果	为大䵂一斗二升	12升 = 1斗2升	✓

古人的算法虽然表述简洁，但每一步都有明确的数学含义。"六之，五而一"本质上就是乘以比例系数 $\frac{6}{5}$。

四、兑换率的数学本质

粟米章的核心是"率"的概念——各种粮食之间的兑换比率。本题中：

$$\text{麦} : \text{大䵂} = 6 : 5$$

这意味着：6单位麦子可换5单位大䵂。

反过来，单位麦子可换大䵂：

$$1 \text{单位麦} = \frac{5}{6} \text{单位大䵂}$$

但古术用的是"以所有率乘所有实，以所求率为法"的今有术（比例术），具体到本题：

$$\text{所求} = \frac{\text{所有率} \times \text{所有实}}{\text{所求率}} = \frac{6 \times 10}{5} = 12$$

五、背景与中西比较

粟米章是中国古代应用数学中"比例问题"的集大成者。本题涉及的"麦→大䵂"兑换，反映了古代粮食加工业的实际需求。

大䵂（zhé）：一种精细加工的面粉，去麸皮较少，出粉率较高。据《说文解字》，"䵂"是"麦核屑"，即磨碎的麦粉。

在西方，类似的兑换问题出现在古埃及的《莱因德纸草书》（约公元前1650年）中，涉及谷物兑换面包、啤酒的比例计算。但《九章算术》的"今有术"（比例算法）在系统性和一般性上更为成熟，其算法可表述为：

$$\text{所求数} = \frac{\text{所有率} \times \text{所有实}}{\text{所求率}}$$

这正是现代比例公式 $y = kx$ 的完整算法化表达。

高中课本关联

知识点：比例运算、分式方程

本题直接对应高中数学中的正比例函数与比例应用题。

高考考法示例：

• 以"出粉率""转化率"为背景的应用题
• 已知比例关系求未知量的计算题
• 结合单位换算（斗与升）的综合题

核心公式：若 $y$ 与 $x$ 满足 $y = kx$（$k$ 为常数），则：

$$k = \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$$

本题中，$k = \frac{6}{5} = 1.2$，即麦子数量是大䵂数量的1.2倍。

思考与拓展

1. 如果反过来，已知大䵂1斗2升，想还原成麦子，需要多少麦？（提示：用"五之，六而一"）

2. 《九章算术》粟米章中，麦与大䵂的兑换比是6:5，而麦与粺米（更精细的米）的兑换比是45:33。问：1斗麦子，分别兑换成大䵂和粺米，哪种更多？多多少？

3. 假设古代某地有麦3石5斗（1石=10斗），全部加工成大䵂后，再按大䵂与米的兑换比20:27换成米，最终可得米多少？

一句话总结

粟米章第31题以"六之，五而一"的简洁算法，完美诠释了古人对比例关系的深刻理解——麦子与大䵂6:5的兑换率，正是今有术（比例术）的经典应用。