术名：粟米·第30题——麦三䵂十，率之所施

原典

今有麦八斗六升、七分升之三，欲为小䵂，问：得几何？

答曰：为小䵂二斗五升、一十四分升之一十三。

术曰：以麦求小䵂，三之，十而一。

白话翻译

现有麦子八斗六升又七分升之三，想把它折算成小䵂（一种磨碎后的麦粉），问：能得多少小䵂？

答：可得小䵂二斗五升又一十四分升之一十三。

折算方法：已知麦求小䵂，把麦的数量乘以三，再除以十。

示意图

数学解读

一、现代解法：统一单位，按率折算

第一步：把"麦"的数量全部换算成升。

已知：1斗 = 10升

麦的总量：

$$8\text{斗}\;6\text{升}\;\frac{3}{7}\text{升} = 8 \times 10 + 6 + \frac{3}{7} = 86 + \frac{3}{7} = \frac{602 + 3}{7} = \frac{605}{7}\text{升}$$

第二步：应用率比"麦三䵂十"。

术文"三之，十而一"的含义是：麦数 × 3 ÷ 10，即乘以率比 $\dfrac{3}{10}$。

$$\text{小䵂量} = \frac{605}{7} \times \frac{3}{10} = \frac{1815}{70} = \frac{363}{14}\text{升}$$

第三步：把结果还原为"斗—升—分数升"的表述。

$$\frac{363}{14} = 25\frac{9}{14}\text{升}$$

因为 1斗 = 10升，所以：

$$25\frac{9}{14}\text{升} = 2\text{斗}\;5\frac{9}{14}\text{升}$$

但古人的答案是"二斗五升、一十四分升之一十三"，即 $2\text{斗}\;5\frac{13}{14}\text{升}$。

验算：

$$\frac{363}{14} = \frac{280 + 70 + 13}{14} = 20 + 5 + \frac{13}{14} = 25\frac{13}{14}$$

所以 $25\frac{13}{14}\text{升} = 2\text{斗}\;5\frac{13}{14}\text{升}$，与标准答曰完全一致。

二、古术逐句讲解

"以麦求小䵂"——指明问题类型：已知麦的量，求对应的小䵂的量。这是粟米章的核心业务：不同粮食及加工品之间的折算。

"三之"——把麦数乘以三。这里的"三"是率比中的"麦率"。

"十而一"——把所得结果除以十。这里的"十"是率比中的"䵂率"。

合起来就是：

$$\text{小䵂} = \text{麦} \times \frac{3}{10}$$

三、古今对照验证

步骤	古代算法	现代算式
原始数据	麦八斗六升七分升之三	$\dfrac{605}{7}$ 升
率比	麦三䵂十	乘以 $\dfrac{3}{10}$
运算	三之，十而一	$\dfrac{605}{7} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{363}{14}$
结果	二斗五升十四分升之一十三	$2\text{斗}\;5\dfrac{13}{14}\text{升}$

数字完全吻合。

四、率比"麦三䵂十"的经济学含义

"麦三䵂十"意味着：3份麦 → 10份小䵂。

这看起来像是"变多"了，实则不然。小䵂是磨碎的麦粉，密度、计量方式都与整粒麦不同。这个率比反映的是当时实际的加工兑换标准——可能涉及加工费、损耗补偿或不同计量容器的差异。

从数学角度看，这是一个率（ratio）的应用：两种量之间存在固定的倍数关系。

五、中西比较

《九章算术》粟米章（约公元前1世纪成书）系统整理了28种粮食及加工品的率比，形成完整的折算体系。

同一时期，古罗马的算术著作（如公元前1左右的《几何学》残篇）也有比例问题，但多以几何形式呈现，缺乏如此系统的"商品折算表"。

古印度《绳法经》（约公元前5世纪）虽有比例计算，但主要用于宗教建筑，而非商业兑换。

中国古代数学的这一特色——以"率"为核心的商业算术体系，在世界数学史上独树一帜。

高中课本关联

知识点： 人教A版必修第一册《集合与常用逻辑用语》之后的《一元二次方程、不等式》章节中，以及选择性必修中的"数列"部分，都涉及比例与率的思想。

高考考法：

• 数学文化题：以《九章算术》原文为素材，考查阅读理解与数学建模能力（如2020年全国卷）。
• 比例应用题：工程问题、溶液配比问题中，核心思想与"粟米折换"一致——找到率比，按比例计算。
• 数列与率：等差、等比数列的通项公式，本质上也是"率"的推广。

本题核心能力：单位换算、分数运算、率比应用——这些都是高中数学的基础功。

思考与拓展

1. 如果反过来，已知小䵂二斗五升十四分升之一十三，求原来的麦是多少？请用古术"十之，三而一"验证。

2. 粟米章共有28种率比。如果麦与粟的率比为"麦五粟三"，那么本题所得的小䵂若要再折算成粟，该如何操作？请设计一个两步折算的流程。

3. 古人的分数表述"一十四分升之一十三"与现代的 $\dfrac{13}{14}$ 升在书写顺序上有何不同？这种差异反映了怎样的数学文化特点？

一句话总结

"三之，十而一"六字术文，浓缩了率比运算的精髓：找准率、定好法，乘除之间，折算立得。