术名：粟米·第29题——菽化为豉，增重几何？

原典

今有菽二斗，欲为豉。问：得几何？

答曰：为豉二斗八升。

术曰：以菽求豉，七之，五而一。

白话翻译

现有菽（大豆）二斗，想用来制成豉（一种调味品）。问：能得到多少豉？

答：能得到二斗八升豉。

术文说：由菽求豉，把菽的数量乘以7，再除以5。

示意图

数学解读

一、现代解法完整过程

题目给出：菽 2 斗，求豉的数量。

根据术文给出的换算比率：

$$\text{豉量} = \text{菽量} \times \frac{7}{5}$$

代入计算：

$$\text{豉量} = 2 \times \frac{7}{5} = \frac{14}{5} = 2.8 \text{ 斗}$$

将 2.8 斗转换为古代单位（1斗 = 10升）：

$$2.8 \text{ 斗} = 2 \text{ 斗} + 0.8 \times 10 \text{ 升} = 2 \text{ 斗} 8 \text{ 升}$$

答案：为豉二斗八升。 ✓ 与原文答曰完全一致。

二、古术逐句解释

"以菽求豉"——明确问题方向：已知菽的量，求豉的量。这是粟米章的标准表述方式，"以A求B"意味着A是已知量，B是待求量。

"七之"——将菽的数量乘以7。这里的"之"指代菽的数量，"七之"即"以七乘之"。

"五而一"——将所得结果除以5。"五而一"是古代表示除以5的说法，字面意思是"以五除之一次"。

合起来看，算法就是：

$$\text{豉} = \text{菽} \times 7 \div 5 = \text{菽} \times \frac{7}{5}$$

三、古今对照验证

对比项	古代表述	现代数学
换算比率	菽5 → 豉7	豉/菽 = 7/5 = 1.4
算法语言	"七之，五而一"	乘以 $\dfrac{7}{5}$
计算过程	$2 \times 7 \div 5 = 14 \div 5$	$2 \times \dfrac{7}{5} = \dfrac{14}{5}$
结果表述	二斗八升	2.8斗 = 2斗8升

数字完全一致：$\dfrac{14}{5}$ 斗 = 二斗八升。

四、为什么菽变豉会增重？

这是一个有趣的实际问题。菽（大豆）在制成豉（豆豉）的过程中，需要经过浸泡、发酵、加盐等工序。加工过程中吸收了水分和盐分，所以成品豉的重量反而比原料菽更多。

古人通过实测得出经验比率：5份菽可制7份豉，即出率为 $\dfrac{7}{5} = 1.4$，也就是140%。

这体现了《粟米章》的核心思想：粮食加工中的换算不是简单的等量代换，而是有特定的比率。

五、中西比较

《九章算术》粟米章成书于约公元前1世纪，其中系统记载了28种粮食换算比率，形成了完整的"比率算法"体系。

相比之下，古埃及的《莱因德纸草书》（约公元前1650年）也有类似的比例问题，但主要是"总量分配"类型，不如《九章》这样系统分类。

古印度《绳法经》（约公元前800年-前200年）虽有比例计算，但主要用于宗教建筑，缺乏如此丰富的实际应用比率表。

《粟米章》的比率算法，特别是"以率为纲"的思想，在世界数学史上具有独特的地位。

高中课本关联

知识点：比例与函数模型

本题直接对应高中数学人教A版必修第一册"函数的概念与性质"章节中的正比例函数模型。

高考考法：

1. 数学文化题：以《九章算术》原文为素材，考查学生将古代表述转化为现代数学语言的能力。例如："以菽求豉，七之，五而一"即 $y = \dfrac{7}{5}x$。

2. 实际应用题：考查正比例函数在实际问题中的建模能力。本题中，豉量 $y$ 与菽量 $x$ 满足 $y = 1.4x$。

3. 单位换算：古代容量单位（斗、升）的换算，与科学计数法、小数运算相结合。

典型变式题：

今有粟一斗，欲为粝米。问：得几何？（粟米章第1题，比率：粟50 → 粝米30）

这类题目要求学生理解"率"的概念，掌握"以率为算法则"，本质上就是正比例关系 $y = kx$ 的应用。

思考与拓展

题目1：逆向思维

今有豉三斗五升，欲换菽。问：得几何？

提示：本题是原题的逆问题。已知豉求菽，应该用"五之，七而一"（即乘以 $\dfrac{5}{7}$）。

$$3.5 \times \frac{5}{7} = \frac{35}{10} \times \frac{5}{7} = \frac{175}{70} = 2.5 \text{ 斗} = \text{二斗五升}$$

题目2：连续加工

今有菽三斗，先为豉，再以豉为菹（假设豉→菹的比率为3:2）。问：最终得菹几何？

提示：分步计算。

• 第一步：菽→豉：$3 \times \dfrac{7}{5} = \dfrac{21}{5} = 4.2$ 斗豉
• 第二步：豉→菹：$4.2 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{42}{10} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{84}{30} = 2.8$ 斗菹

题目3：比率表的数学本质

《粟米章》记载了28种粮食的换算比率。如果把这些比率看作一个矩阵，其中第 $i$ 行第 $j$ 列表示"由第 $i$ 种粮食求第 $j$ 种粮食"的比率系数，这个矩阵有什么特点？

提示：这是一个正互反矩阵，且满足传递性：若 $a_{ij} = \dfrac{m}{n}$，$a_{jk} = \dfrac{p}{q}$，则 $a_{ik} = a_{ij} \times a_{jk}$。这实际上就是乘法群的结构。

一句话总结

"以菽求豉，七之，五而一"——古人用一个比率 $\dfrac{7}{5}$ 就解决了粮食加工中的换算问题，这正是正比例函数 $y = kx$ 的雏形，也是《九章算术》"以率为纲"思想的生动体现。