术米·第28题——菽化为熟斗的比率

原典

今有菽一斗，欲为熟菽。问：得几何？

答曰：为熟菽二斗三升。

术曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一。

白话翻译

现在有菽（豆类）一斗，想把它煮熟成为熟菽。问：能得到多少熟菽？

答：能得到熟菽二斗三升。

计算方法：由菽求熟菽，把菽的数量乘以23，再除以10。

示意图

数学解读

一、题意与数量关系

本题讨论的是生豆（菽）与熟豆（熟菽）之间的换算。

关键信息：

• 原有菽：1斗 = 10升
• 换算比率：生菽40 → 熟菽23（即粟米章开篇所列"菽率四十、熟菽率二十三"）
• 运算规则："二十三之，十而一"，即乘以23再除以10

二、现代数学解法

设原有菽为 $a = 10$ 升，求熟菽数量 $x$。

根据粟米章"粟率五十"的基准体系，各类粮食的换算率是相对于"粟"定义的。由"今有术"（即比例术）：

$$\frac{\text{菽率}}{\text{熟菽率}} = \frac{\text{熟菽量}}{\text{菽量}}$$

即：

$$\frac{40}{23} = \frac{x}{10}$$

解得：

$$x = 10 \times \frac{23}{40} = \frac{230}{40} = \frac{23}{4} = 5.75 \text{ 升}$$

实际上，术文"二十三之，十而一"直接给出的是：

$$x = 10 \times 23 \div 10 = 23 \text{ 升} = 2 \text{ 斗 } 3 \text{ 升}$$

这说明本题的比率关系是：1斗菽 → 2.3斗熟菽，即生熟比为 $10:23$。

三、古术逐句解释

"以菽求熟菽"：说明这是由生菽推算熟菽的问题类型。

"二十三之"：将菽的数量乘以23。这里的"二十三"是熟菽的换算率（相对于粟率五十而言）。

"十而一"：将所得结果除以10。这里的"十"是菽的换算率（相对于粟率五十而言，菽率四十，但此处用10是因为1斗=10升，实际运算中用的是升数）。

综合起来：

$$\text{熟菽量} = \text{菽量（升）} \times \frac{23}{10}$$

四、古今对照验证

项目	古代表述	现代数学
原有菽	一斗	$10$ 升
运算	二十三之，十而一	$10 \times 23 \div 10$
计算过程	—	$= 230 \div 10 = 23$ 升
结果	二斗三升	$23$ 升 $= 2$ 斗 $3$ 升

验证一致：古代答案"二斗三升"与现代计算结果23升完全吻合。

五、背景与中西比较

《九章算术》粟米章共36题，是中国最早的系统比例算法专章。其核心是"今有术"（即四项比例术），相当于现代的：

$$b = \frac{a \times c}{d}$$

其中 $a$ 为所有数，$d$ 为所求率，$c$ 为所有率，$b$ 为所求数。

在西方，类似的系统比例算法出现在古希腊数学家欧几里得（约公元前300年）的《几何原本》第五卷中，但《九章算术》的粟米章（约公元前1世纪成书）在应用层面更为成熟和系统。

本题的特殊之处在于：生豆煮成熟豆后体积膨胀，1斗生豆可得2.3斗熟豆，膨胀率为230%。这反映了古人对粮食加工过程中物理变化的精确观察。

高中课本关联

知识点：必修第一册"等式与不等式的性质"、选择性必修第三册"数列与数学归纳法"中的递推思想。

高考考法：

1. 数学文化题：以《九章算术》为背景，考查比例运算或算法理解
2. 阅读理解题：给出古文材料，要求提取数量关系并列式计算
3. 程序框图题：将"二十三之，十而一"转化为算法步骤

典型题型：

《九章算术》粟米章载："以菽求熟菽，二十三之，十而一。"今有菽一斗，欲为熟菽，问得几何？试用现代数学方法求解。

思考与拓展

问题1：若反过来，有熟菽二斗三升，欲求原有菽多少，该如何计算？

提示：逆向运算，"十之，二十三一"，即 $23 \times 10 \div 23 = 10$ 升 = 1斗。

问题2：根据粟米章"粟率五十，菽率四十"，若将1斗粟转化为菽，可得多少菽？

提示：粟率50，菽率40，由粟求菽：$10 \times 40 \div 50 = 8$ 升。

问题3：本题中"生熟比"为 $10:23$，若煮豆时水分蒸发导致熟豆重量为生豆的 $\frac{3}{4}$，则1升生豆可得多少升熟豆？（假设体积与重量成正比）

提示：重量比为 $1:\frac{3}{4}$，体积比需结合密度变化，此处为开放探究题。

一句话总结

粟米章以"粟率五十"为基准，通过"今有术"实现各类粮食的精确换算，本题展示了生豆与熟豆的比率关系：1斗菽经烹煮可得2斗3升熟菽，膨胀率达230%，体现了古人对粮食加工过程的量化把握。