粟米·第27题：粝饭化飧——六之五而一的换算术

原典

今有粝饭七斗六升、七分升之四，欲为飧。问：得几何？

答曰：为飧九斗一升、三十五分升之三十一。

术曰：以粝饭求飧，六之，五而一。

白话翻译

现有粝饭七斗六升又七分升之四，想把它换算成飧。问：能得到多少？

答：可得飧九斗一升又三十五分升之三十一。

方法：用粝饭求飧，先乘以六，再除以五。

示意图

数学解读

一、现代解法：单位换算与分数运算

题目给出粝饭 $7$ 斗 $6$ 升 $\frac{4}{7}$ 升，要求化为飧。

古代容量单位：$1$ 斗 $= 10$ 升。先将粝饭统一化为升：

$$7 \times 10 + 6 + \frac{4}{7} = 76 + \frac{4}{7} = \frac{532 + 4}{7} = \frac{536}{7} \text{（升）}$$

根据术文"六之，五而一"，即乘以 $6$ 再除以 $5$：

$$\frac{536}{7} \times 6 \div 5 = \frac{536 \times 6}{7 \times 5} = \frac{3216}{35} \text{（升）}$$

再将结果化为斗和升。因为 $\frac{3216}{35} = 91\frac{31}{35}$，而 $91$ 升 $= 9$ 斗 $1$ 升，所以：

$$\frac{3216}{35} \text{ 升} = 9 \text{ 斗 } 1 \text{ 升 } \frac{31}{35} \text{ 升}$$

即"九斗一升、三十五分升之三十一"，与答曰完全一致。

二、古术逐句解释："六之，五而一"

"以粝饭求飧，六之，五而一。"

• "以粝饭求飧"：已知粝饭的数量，求飧的数量。
• "六之"：将粝饭乘以 $6$。
• "五而一"：再除以 $5$。

用现代符号表示：

$$\text{飧} = \text{粝饭} \times 6 \div 5 = \text{粝饭} \times \frac{6}{5}$$

先说清比率的方向。"六之，五而一"是乘以 $\dfrac{6}{5}$，所以等量的粝饭化出来的飧更多。这一点古人没有解释，但放到煮饭的常识里就通了：粝饭是糙米压出的干饭，飧是加了水再煮的熟食，同样的米加水之后体积会涨。所以 $\dfrac{6}{5}$ 这个系数不是凭空规定的比率，而是"干饭加水还原成飧"时水占的那一份。

用现代的话说：粝饭是飧去掉水之后的"浓缩态"，术文给的 $\dfrac{6}{5}$ 就是加水膨胀的还原系数。

这里有个容易搞反的地方——"六之"乘的是原数，"五而一"除的也是原数，两步都作用在同一个数上，不是先把粝饭分成六份再取五份。古人说"六之，五而一"，字面是"让它变成六倍，再取五分之一"，合起来正是乘以 $\dfrac{6}{5}$。这正是《九章算术》里"今有术"的标准写法：所有率、所求率一对，乘除各一次就完事。

再看"为什么是 $6$ 和 $5$"。粟米章的比率不是逐题编的，而是从"米"出发一以贯之：粝米之率三十、凿米之率二十七……一路化到饭和飧，每化一步乘一个分数，最后粝饭到飧的比率正好落在 $\dfrac{6}{5}$。换句话说，本题的"六之，五而一"不是孤立的窍门，是那条换算链上的一环。这也解释了《九章算术》为什么把这么多粮食换算题排在一起讲——它排的是比率表，不是应用题集。

三、古今对照验证

古术"六之，五而一"等价于现代的比例运算：

$$\text{飧} = \text{粝饭} \times \frac{6}{5}$$

这与现代数学中的"按比例换算"完全一致。古代没有分数乘法的符号系统，但"六之，五而一"简洁地表达了乘以 $\frac{6}{5}$ 的运算。

验证：$\frac{536}{7} \times \frac{6}{5} = \frac{3216}{35} = 91\frac{31}{35}$ 升 $= 9$ 斗 $1$ 升 $\frac{31}{35}$ 升 ✓

四、背景与中西比较

《九章算术》粟米章是中国古代数学中比例算法的集中体现。粟米章首先给出各种粮食之间的兑换比率（"粟率"），然后给出粮食与加工食品之间的兑换比率。这些比率反映了汉代的经济生活和饮食结构。

"今有术"（即比例算法）在《九章算术》中被称为"都术"（通用方法），其核心是：

$$\text{所求} = \text{所有} \times \frac{\text{所求率}}{\text{所有率}}$$

在本题中，所有率 $= 5$，所求率 $= 6$，所以：

$$\text{飧} = \text{粝饭} \times \frac{6}{5}$$

这与欧洲中世纪的"rule of three"（三率法）在原理上完全相同，但中国的使用早了约一千年。粟米章的兑换比率体系，是世界上最早的系统性比例算法应用之一。

高中课本关联

1. 比例与比例运算：本题本质上是比例运算，对应高中数学中的"比例"知识点。高考中比例运算常以应用题形式出现，考查学生建立数学模型的能力。
2. 分数运算：涉及带分数与假分数的转换、分数乘除法，是高中数学的基础运算技能。
3. 单位换算：斗与升的换算（$1$ 斗 $= 10$ 升）是单位换算的典型例子，体现了数学在实际生活中的应用。
4. 数学建模：将实际问题转化为数学问题，对应高中数学核心素养中的"数学建模"。

思考与拓展

1. 若有粝饭 $10$ 斗，可化为飧多少？
2. 若要得到 $100$ 升飧，需要粝饭多少？
3. 若将"六之，五而一"的运算连续执行两次（即先将粝饭化为飧，再将飧化为粝饭），结果是否回到原值？为什么？

一句话总结

"六之，五而一"以极简的六个字，道出了粝饭化飧的比例奥秘——乘以 $\frac{6}{5}$，古今同理。