术名：粟米·第26题——从生米到饭，古人如何'膨胀'计算？

原典

今有粝米六斗四升、五分升之三，欲为粝饭。问：得几何？

答曰：为粝饭一十六斗一升半。

术曰：以粝米求粝饭，五之，二而一。

---

白话翻译

现在有粝米六斗四升又五分升之三（即 $6$ 斗 $4\dfrac{3}{5}$ 升），想煮成粝饭。问：能得到多少粝饭？

答： 能煮成粝饭十六斗一升半（即 $16$ 斗 $1\dfrac{1}{2}$ 升）。

术（方法）： 已知粝米求粝饭，把粝米数量乘以 $5$，再除以 $2$。

---

示意图

---

数学解读

一、破题：理解"粝米"与"粝饭"

"粝米"指的是糙米，即未经精磨的米；"粝饭"则是用粝米煮成的米饭。本题的核心是一个换算问题：给定生米的量，求能煮出多少饭。

这背后涉及的是膨胀率的概念——米在蒸煮过程中吸水膨胀，体积（或重量）会发生变化。古人通过大量实践，总结出了固定的换算比率。

二、统一单位：把"斗"和"升"合在一起

古代容量单位换算：$1\text{斗} = 10\text{升}$。

题目给出的粝米是 $6$ 斗 $4\dfrac{3}{5}$ 升。为了便于计算，我们把它全部换算成"升"：

$$6\text{斗} = 60\text{升}$$ $$\text{粝米总量} = 60 + 4 + \frac{3}{5} = 64 + \frac{3}{5} = \frac{320 + 3}{5} = \frac{323}{5}\text{升}$$

三、古术解读："五之，二而一"

术文说"以粝米求粝饭，五之，二而一"，意思是：

• "五之"：把粝米数量乘以 $5$
• "二而一"：再把结果除以 $2$

用现代算式表达：

$$\text{粝饭} = \text{粝米} \times 5 \div 2 = \text{粝米} \times \frac{5}{2}$$

这说明古人总结的粝米与粝饭的比率是 $2:5$——每 $2$ 份粝米可以煮出 $5$ 份粝饭。

四、完整计算过程

把 $\dfrac{323}{5}$ 升代入公式：

$$\text{粝饭} = \frac{323}{5} \times \frac{5}{2} = \frac{323 \times 5}{5 \times 2} = \frac{323}{2} = 161.5\text{升}$$

把 $161.5$ 升换算回复合单位：

$$161.5\text{升} = 160\text{升} + 1.5\text{升} = 16\text{斗} + 1\dfrac{1}{2}\text{升}$$

与标准答曰完全一致：一十六斗一升半。 ✓

五、古今对照：为什么是"五二"之比？

从现代营养学角度看，糙米煮饭的吸水率约为 $1:2.5$ 到 $1:3$（重量比），古人总结的 $2:5$ 即 $1:2.5$，与今天实测数据惊人吻合。

这体现了中国古代数学的实用性特征——算法不是抽象推演，而是源于生活实践的经验总结。

六、中西比较

同一时期的西方数学（约公元前 $3$ 世纪至公元 $1$ 世纪），如古埃及的《莱因德纸草书》或古希腊数学，虽然也有比例问题，但多侧重于几何和数论。而《九章算术》的"粟米章"系统整理了二十余种粮食及其加工品之间的换算率，形成了世界上最早的粮食交换比率表，比欧洲同类实用算术早了约一千年。

---

高中课本关联

知识点： 本题直接对应高中数学必修一或必修二中的比例与函数模型，以及算法初步中的顺序结构与算法语句。

高考考法：

1. 数学文化题：以《九章算术》原文为背景，考查学生阅读理解古文、提取数学信息的能力。
2. 程序框图题：给出"五之，二而一"的算法，要求画出程序框图或计算输出结果。
3. 单位换算与运算：考查带分数、容量单位换算等基础运算能力。

典型变式： 若已知粝饭求粝米，则需"二之，五而一"（乘以 $2$，除以 $5$），考查逆向思维。

---

思考与拓展

1. 若将 $6$ 斗 $4\dfrac{3}{5}$ 升粝米先换算成以"斗"为单位的分数（即 $6\dfrac{4}{10} + \dfrac{3}{50}$ 斗），再用"五之，二而一"计算，结果是否一致？请验证。

2. 《九章算术》粟米章中，"以粝米求粟，五之，三而一"。若用 $6$ 斗 $4\dfrac{3}{5}$ 升粝米换粟，能换多少粟？这里的"五三"之比反映了什么经济现象？

3. 现代电饭煲的米水比通常为 $1:1.2$ 到 $1:1.5$（体积比），煮出的米饭体积约为生米的 $2$ 到 $2.5$ 倍。试从米粒吸水膨胀的角度，解释为什么古人的"五二"之比（$2.5$ 倍）与现代经验相符。

---

一句话总结

古人用"五之，二而一"四个字，精准概括了生米煮饭的膨胀比率——这是经验数学的典范，也是比例思想最朴素的应用。