术名：粟米·第25题——带分数与'率'的巧算

原典

今有粝米一十九斗二升、七分升之一，欲为粺米。问：得几何？

答曰：为粺米一十七斗二升、一十四分升之一十三。

术曰：以粝米求粺米，九之，十而一。

白话翻译

现有粝米19斗2升又$\dfrac{1}{7}$升，想把它换算成粺米。问：能得到多少粺米？

答：能得到粺米17斗2升又$\dfrac{13}{14}$升。

术文说：已知粝米求粺米，先把粝米乘以9，再除以10。

示意图

数学解读

一、把"一十九斗二升、七分升之一"写成现代分数

古人的容量单位换算：1斗 = 10升。

"一十九斗二升、七分升之一"就是：

$$19\text{斗} + 2\text{升} + \frac{1}{7}\text{升}$$

把升换算成斗：

$$= 19 + \frac{2}{10} + \frac{1}{7} \times \frac{1}{10} = 19 + \frac{2}{10} + \frac{1}{70}$$

通分（公分母为70）：

$$= 19 + \frac{14}{70} + \frac{1}{70} = 19 + \frac{15}{70} = 19 + \frac{3}{14} = \frac{269}{14}\text{斗}$$

二、按"术"计算——九之，十而一

"九之，十而一"就是乘以$\dfrac{9}{10}$。

$$\text{粺米} = \frac{269}{14} \times \frac{9}{10} = \frac{2421}{140}\text{斗}$$

三、把结果还原成"斗、升、分升"

$$\frac{2421}{140} = 17\frac{41}{140}\text{斗}$$

整数部分17斗，分数部分$\dfrac{41}{140}$斗换算成升：

$$\frac{41}{140} \times 10 = \frac{410}{140} = \frac{41}{14} = 2\frac{13}{14}\text{升}$$

所以结果是：17斗2升又$\dfrac{13}{14}$升，与原文答曰完全一致。

四、古术的算法逻辑

"以粝米求粺米，九之，十而一"——这句话背后是《粟米章》的核心方法：比率换算。

《粟米章》开篇就给出了各种粮食的换算率：

粟率五十，粝米三十，粺米二十七……

粝米率30，粺米率27，所以：

$$\text{粺米} = \text{粝米} \times \frac{27}{30} = \text{粝米} \times \frac{9}{10}$$

"九之，十而一"就是$\times 9 \div 10$的简写。古人把除法说成"而一"，意思是"除以某数得到一份"。

五、古今对照：带分数的处理

现代做法：先把带分数化成假分数，再做乘法，最后还原。

古人的做法（据刘徽注）：他们可能用"今有术"的框架，把整数部分和分数部分分别处理，或者用通分后再算。但《九章》原文只给"术"，具体计算过程留给读者。

本题的难点在于：带分数的分母（7）与换算率的分母（10）不同，需要通分。这要求运算者对分数四则运算相当熟练。

六、中西比较

《九章算术》成书于公元1世纪左右，其中粟米章的比率算法已经非常成熟。

同时期的古罗马（如《几何原本》时代的希腊数学）长于几何证明，但在实用算术的算法化方面不如《九章》系统。

印度数学在5世纪后发展出成熟的分数运算，阿拉伯数学在8世纪后进一步系统化。而《九章》的"今有术"（比例算法）在公元前就已成型，比欧洲同类方法的系统化早了约1500年。

高中课本关联

知识点：分数的四则运算、带分数与假分数的互化

本题直接对应高中数学必修中的"数与运算"基础内容，也是初中分数的延伸。

高考考法：

1. 数学文化题：以《九章算术》原文为背景，考查阅读理解与分数运算能力（近年全国卷多次出现）。

2. 算法初步："九之，十而一"可以看作一个算法步骤，与程序框图结合考查。

3. 新定义运算：给出古文的运算规则，要求按规则计算。

解题关键：准确把古代表述转化为现代数学符号，然后按分数运算法则计算。

思考与拓展

练习1： 如果反过来，有粺米17斗2升又$\dfrac{13}{14}$升，想求粝米，应该怎么算？（提示：粺米求粝米，术曰"十之，九而一"）

练习2： 把"一十九斗二升、七分升之一"全部换算成以"升"为单位的分数，再乘以$\dfrac{9}{10}$，验证结果是否一致。

练习3： 《粟米章》中还有"粟率五十，粝米三十"的换算率。如果有粟米50斗，按"以粟求粝米，三之，五而一"的术，能得粝米多少？如果粝米再换算成粺米呢？请完整计算。

一句话总结

"九之，十而一"——六个字概括了比率换算的全部秘密，背后是《九章算术》以"率"为核心的算法体系，至今仍是比例运算的基本思想。