术名：粟米·第24题——稻粟互换中的分数运算

原典

今有稻一十二斗六升、一十五分升之一十四，欲为粟。问：得几何？

答曰：为粟一十斗五升、九分升之七。

术曰：以稻求粟，五之，六而一。

白话翻译

现在有稻谷一十二斗六升又一十五分之十四升，想换成粟米。问：能换得多少？

答：能换得粟米一十斗五升又九分之七升。

计算方法：由稻谷求粟米，将稻谷数量乘以五，再除以六。

示意图

数学解读

一、题意分析与数量关系

本题属于粟米章的核心题型——谷物互换。题目给出稻谷数量，要求按率率换算成粟米数量。

关键率率：

• 粟率五十，稻率六十（即粟:稻 = 50:60 = 5:6）
• 因此：粟米量 = 稻谷量 × $\dfrac{5}{6}$

二、现代解法完整过程

第一步：统一单位，将带分数化为假分数

已知：稻一十二斗六升又一十五分十四升

1斗 = 10升，因此：

$$12\text{斗}6\text{升}\frac{14}{15}\text{升} = 120 + 6 + \frac{14}{15} = 126 + \frac{14}{15} = \frac{126 \times 15 + 14}{15} = \frac{1904}{15}\text{升}$$

第二步：应用换算率率

$$\text{粟米量} = \frac{1904}{15} \times \frac{5}{6} = \frac{1904 \times 5}{15 \times 6} = \frac{9520}{90}$$

第三步：约分化简

$$\frac{9520}{90} = \frac{952}{9}\text{升}$$

第四步：化为带分数并还原为斗、升、分升

$$952 \div 9 = 105\cdots\cdots7$$ $$\frac{952}{9} = 105\frac{7}{9}\text{升}$$ $$105\text{升} = 10\text{斗}5\text{升}$$

因此：

$$\text{粟米量} = 10\text{斗}5\text{升}\frac{7}{9}\text{升}$$

验证：与标准答曰对照

标准答曰为"一十斗五升、九分升之七"，与计算结果完全一致。

三、古术逐句解释

术曰："以稻求粟，五之，六而一。"

• "以稻求粟"：说明本题是由稻谷换算为粟米的题型，确定使用粟米章中的相应率率。

• "五之"：将稻谷数量乘以五。这里的"五"来自粟率五十与稻率六十的简化比 50:60 = 5:6 中的"5"。

• "六而一"：将所得结果除以六。这里的"六"来自率比中的"6"。

古术本质：粟米量 = 稻谷量 × $\dfrac{5}{6}$

四、古今对照验证

对比项	古代方法	现代方法
核心算法	五之，六而一	乘以 $\dfrac{5}{6}$
分数处理	以"分升"表述	用分数 $\dfrac{a}{b}$ 表述
单位换算	斗、升、分升三级	统一为升或分数表示
运算过程	筹算布位	纸笔演算

数字验证一致性：

• 古术：$(12\frac{6\frac{14}{15}}{10}) \times 5 \div 6 = 10\frac{5\frac{7}{9}}{10}$（以斗为单位）
• 现代：$\dfrac{1904}{15} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{952}{9} = 105\dfrac{7}{9}$ 升 $= 10$ 斗 $5\dfrac{7}{9}$ 升

结果完全吻合：一十斗五升、九分升之七。

五、背景与中西比较

《九章算术》粟米章是中国最早的系统性谷物换算文献，其率率体系（稻率60、粟率50等）反映了秦汉时期的农业经济实际。

中西比较要点：

• 古埃及（约公元前1650年，《莱因德纸草书》）已有分数运算，但主要使用单位分数（分子为1的分数），处理复合分数较为繁琐。
• 古巴比伦（约公元前1800年）使用六十进制分数，在除法运算上有优势，但缺乏系统的率率概念。
• 中国《九章算术》（约公元前1世纪成书）同时具备：
  ①系统的率率体系；
  ②完整的分数四则运算；
  ③"以率率之"的普适性方法。

本题体现的中国特色：将复杂的带分数运算嵌入实际经济活动，算法简洁（"五之，六而一"六个字概括），体现了中国古代数学"寓理于算"的特点。

高中课本关联

知识点对应：

1. 人教版必修第一册——"集合与常用逻辑用语"后的"等式性质与不等式性质"：涉及比例的基本性质，本题中 $\dfrac{5}{6}$ 的率率本质是比例关系。

2. 人教版必修第一册——"函数的概念与表示"：粟米量 $f(x) = \dfrac{5}{6}x$ 是一个正比例函数，体现了函数建模思想。

3. 选择性必修第三册——"计数原理"与"数学建模"：粟米章的率率体系可视为早期的数学模型，将实际问题抽象为数学运算。

高考考法链接：

• 数学文化题常以《九章算术》为背景，考查阅读理解与数学建模能力（如2020年全国卷、2021年浙江卷）。
• 本题可改编为：给出新的率率，要求建立函数关系并求解，或比较不同换算方法的优劣。

思考与拓展

题1（基础）： 今有粟一十五斗，欲为稻。问：得几何？

（提示：术曰"以粟求稻，六之，五而一"，即乘以 $\dfrac{6}{5}$）

题2（进阶）： 今有稻一十二斗六升又一十五分升之一十四，欲为粝米。问：得几何？ （提示：粝米率三十，稻率六十，换算率为 $\dfrac{30}{60} = \dfrac{1}{2}$）

题3（拓展）： 若将本题的换算率改为 $\dfrac{a}{b}$（$a, b$ 为正整数），稻谷量为 $Q$，粟米量为 $M$。
(1) 写出 $M$ 关于 $Q$ 的函数关系式；
(2) 若已知 $M = 10$ 斗 $5\dfrac{7}{9}$ 升，求 $Q$ 的值；
(3) 讨论 $a, b$ 满足什么条件时，换算过程不会出现无限小数。

一句话总结

本题以稻粟换算为载体，展示了《九章算术》"以率率之"的核心算法思想——将复杂的谷物互换归结为简洁的分数乘法（五之，六而一），其算法的普适性与运算的精确性，彰显了中国古代数学的高度智慧。