术名：粟米·第23题——从精米追原谷，古人的'出品率'计算

原典

今有御米十四斗，欲为粟。问：得几何？

答曰：为粟三十三斗三升、少半升。

术曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。

白话翻译

现有精米（御米）14斗，想把它折算成原来需要多少粟（带壳的谷物）。问：相当于多少粟？

答：相当于粟33斗3升$\dfrac{1}{3}$升。

算术法则：由御米求粟，先将御米数乘以50，再除以21。

示意图

数学解读

一、现代解法完整过程

题目给出换算比率：粟与御米的比为$50:21$。

设所求粟为$x$斗，根据正比例关系：

$$\frac{x}{14} = \frac{50}{21}$$

解得：

$$x = 14 \times \frac{50}{21} = \frac{700}{21} = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3}\text{（斗）}$$

将$33\dfrac{1}{3}$斗转化为古代表述：

• 整数部分：$33$斗
• 小数部分：$\dfrac{1}{3}$斗 $= \dfrac{10}{3}$升 $= 3\dfrac{1}{3}$升 $= 3$升 $+\dfrac{1}{3}$升

"少半"即三分之一，故$\dfrac{1}{3}$升称为"少半升"。

最终答案：$33$斗$3$升$\dfrac{1}{3}$升，即"三十三斗三升、少半升"。 ✓

二、古术逐句解释

"以御米求粟"——明确问题方向：已知御米量，求等价的粟量。这是"由果溯因"的逆运算，因为粟是原料，御米是加工后的成品。

"五十之"——将御米数乘以50。50是粟率，代表"标准份数"中粟的份额。

"二十一而一"——除以21。21是御米率，代表"标准份数"中御米的份额。

古术的本质就是：$\text{粟} = \text{御米} \times \dfrac{\text{粟率}}{\text{御米率}} = 14 \times \dfrac{50}{21}$

三、古今对照验证

对比项	古代算法	现代算法
运算式	$14 \times 50 \div 21$	$14 \times \dfrac{50}{21}$
中间结果	$700 \div 21$	$\dfrac{700}{21} = \dfrac{100}{3}$
最终答案	$33$斗$3$升少半升	$33\dfrac{1}{3}$斗

两者完全一致。古人用"乘除分步"代替分数运算，是算筹计算的实用策略。

四、"少半"的分数古义

古代分数有一套专门术语：

• 少半 = $\dfrac{1}{3}$（"少"表示不足一半）
• 太半 = $\dfrac{2}{3}$（"太"表示过半）
• 半 = $\dfrac{1}{2}$

本题"少半升"即$\dfrac{1}{3}$升，与现代$\dfrac{1}{3}$升完全对应。

五、中西比较：比率术的先声

《九章算术》粟米章成书的公元前1世纪，系统给出了20种谷物换算比率，并以"今有术"（比例法）统一求解。

相比之下，古希腊在同期（如公元1世纪尼科马库斯《算术》）虽也有比例讨论，但未形成如此系统的应用算法。古印度《巴赫沙利手稿》（约公元3世纪）中有类似的比例问题，但比率表不如《九章》完整。

中国数学的特色在于：比率表+今有术构成一个可操作的计算系统，而非纯理论推导。

高中课本关联

知识点1：正比例函数（必修第一册）

本题本质是正比例关系$y = kx$，其中$k = \dfrac{50}{21}$为常数。已知$x=14$，求$y$。

知识点2：分数的意义与运算（必修第一册）

$\dfrac{100}{3} = 33\dfrac{1}{3}$，涉及假分数与带分数的互化。古代"少半"即$\dfrac{1}{3}$，是分数概念的早期表达。

高考考法链接：

这类题常以"算法文化"为背景出现在选择题或填空题中，考查：

• 阅读理解古文，提取数学信息
• 执行分数四则运算
• 理解正比例关系

例如："《九章算术》记载'以粟求粺米，二十七之，五十而一'，则8斗粟可换粺米____斗。"

思考与拓展

题目1：若将$33\dfrac{1}{3}$斗粟碾成御米，应得多少斗？（用古术验证）

提示：以粟求御米，"二十七之，五十而一"（粟率50，御米率21，反之为"以粟求御米，二十一之，五十而一"）。计算：$\dfrac{100}{3} \times \dfrac{21}{50} = 14$斗。✓

题目2：古代"少半""太半"分别对应现代什么分数？请用这两个词造一个数学句子。

答案：少半$=\dfrac{1}{3}$，太半$=\dfrac{2}{3}$。例句：一斗少半升为$\dfrac{4}{3}$升，一斗太半升为$\dfrac{5}{3}$升。

题目3：若粟与御米的比率改为$3:1$（即3斗粟出1斗御米），求14斗御米需多少粟？比较古今两种表述的简洁程度。

答案：$14 \times 3 = 42$斗。古术"三而一"（乘以3除以1）与现代$14 \times 3$本质相同，但古术语言更凝练。

一句话总结

御米求粟，五十乘而二十一除——古人以比率互换处理加工换算，$33\dfrac{1}{3}$斗的答案里藏着正比例函数与分数运算的千年智慧。