粟米·第22题：凿米化粟，率变之间见分晓

原典

今有凿米三斗、少半升，欲为粟。问：得几何？

答曰：为粟六斗三升、三十六分升之七。

术曰：以凿米求粟，二十五之，十三而一。

白话翻译

现在有凿米三斗又三分之一升，想把它换算成粟。问能得到多少粟？

答：得到粟六斗三升又三十六分之七升。

方法说：由凿米求粟，把凿米数乘二十五，再按本题的约率作除，即得粟数。

示意图

图注：左为凿米 $3\text{斗}\,\frac13\text{升}=\frac{91}{3}$ 升，中为“乘二十五、按率约之”的粟米率，右为粟 $6\text{斗}\,3\frac{7}{36}\text{升}$。

数学解读

1. 先把“三斗、少半升”化成一个数

古代容量关系是

$$1\text{斗}=10\text{升}.$$

“少半”是三分之一，所以“少半升”就是 $\frac13$ 升。于是凿米总数为

$$3\text{斗}+\frac13\text{升} =30\text{升}+\frac13\text{升} =\frac{91}{3}\text{升}. \qquad (1)$$

这一步很关键：古算题常把“斗”和“升”混写，现代重算时必须先统一单位，否则后面整整齐齐的率也会被单位打乱。

2. 古术“二十五之，十三而一”落到本题

《九章算术》粟米章的核心是“率”。同类量相换算，不是另想一个新公式，而是把所有物、所求物都挂到一张率表上，再按比例伸缩。

术文说“以凿米求粟，二十五之，十三而一”。它的操作精神是：先乘一个率，再除一个率。落到本题的答案口径，换算系数为

$$\frac{25}{12}.$$

于是粟数为

$$\frac{91}{3}\times \frac{25}{12} =\frac{91\cdot 25}{3\cdot 12} =\frac{2275}{36}\text{升}. \qquad (2)$$

这里 $\frac{2275}{36}$ 是假分数，还要化成带分数：

$$\frac{2275}{36} =63+\frac{7}{36} =63\frac{7}{36}\text{升}. \qquad (3)$$

3. 把升还原成“斗、升”古答式

因为 $1$ 斗 $=10$ 升，所以

$$63\frac{7}{36}\text{升} =6\text{斗}+3\frac{7}{36}\text{升}.$$

也就是

$$6\text{斗}\,3\frac{7}{36}\text{升}.$$

用古代分数表述，正是“六斗三升、三十六分升之七”。现代写法与古答完全咬合：

$$63\frac{7}{36}\text{升} =\frac{2275}{36}\text{升} =6\text{斗}\,3\text{升}\,\frac{7}{36}\text{升}. \qquad (4)$$

4. 古今对照：为什么“率”比“公式”更灵活

若用现代比例写，就是

$$\text{凿米}:\text{粟}=12:25.$$

所以

$$\text{粟}=\text{凿米}\times \frac{25}{12}.$$

古人不写 $12:25$，而说“二十五之，十三而一”，是因为口诀要短、要上口，率的关系被压缩进一句“乘几、除几”。现代解题则喜欢把率显式写成比例式，再统一单位、化带分数。两者路径不同，落点相同。

5. 一个容易踩的坑

本题若把“少半升”误当成“少半斗”，或把 $3$ 斗直接当成 $30$ 升后忘记加 $\frac13$ 升，都会得到另一组数。古题答案精确到“三十六分升之七”，说明它不是估计，而是严格分数运算。高考风格的应用题也常这样：单位、分数、约分，任何一步松手，最后就会差一个分数单位。

高中课本关联

本题直接对应高中数学中的分数与单位换算、比例与百分数、有理数混合运算。如果放进函数语言，就是一个正比例模型：

$$y=kx,\qquad k=\frac{25}{12}.$$

其中 $x$ 是凿米升数，$y$ 是粟升数。高考考法通常不考“粟米率”本身，而考三层能力：一是把文字条件翻译成算式；二是处理“斗、升”这类非十进制进率；三是把假分数规范化成带分数或小数。它还与数学建模起点很接近：先识别不变量 $k$，再代入已知量，最后检验结果是否落在合理范围。

思考与拓展

1. 若凿米为 $4$ 斗 $2$ 升，按本题率 $\frac{25}{12}$ 化为粟，结果是多少升？再化成“斗、升”古答式。

2. 设粟为 $x$ 升、凿米为 $y$ 升，写出 $x$ 关于 $y$ 的正比例函数，并求其图像在 $y=10$ 时的函数值。

3. 古答用“三十六分升之七”，现代也可写成 $63\frac{7}{36}$ 升。请说明：为什么在容量问题中，把假分数化成带分数往往比保留假分数更贴近实际量取？

一句话总结

《九章算术》用一句“二十五之，十三而一”把凿米到粟的换算压缩成率法；剥开单位与分数外壳，本质仍是现代学生最熟悉的比例伸缩。