术名：粟米·第21题——从精米反推粗粮的换算智慧

原典

今有粺米二斗，欲为粟。问：得几何？

答曰：为粟三斗七升、二十七分升之一。

术曰：以粺米求粟，五十之，二十七而一。

白话翻译

现在有粺米二斗，想把它换算成粟。问：能得到多少粟？

答案是：能得到三斗七升又二十七分之一升粟。

计算法则是：由粺米求粟时，先把粺米数乘以50，再除以27。

示意图

数学解读

一、现代解法完整过程

第一步：统一单位

题目给出粺米2斗。古代1斗 = 10升，因此：

$$2\text{斗} = 20\text{升}$$

第二步：应用换算比率

由术文"五十之，二十七而一"可知，粺米与粟的换算关系为：

$$\text{粟} = \text{粺米} \times \frac{50}{27}$$

第三步：代入计算

$$\text{粟} = 20 \times \frac{50}{27} = \frac{1000}{27}\text{升}$$

第四步：化为带分数

$$\frac{1000}{27} = 37\frac{1}{27}\text{升}$$

第五步：还原为斗、升单位

$$37\frac{1}{27}\text{升} = 30\text{升} + 7\frac{1}{27}\text{升} = 3\text{斗}7\frac{1}{27}\text{升}$$

即"三斗七升、二十七分升之一"，与标准答案完全一致。

二、古术逐句解释

"以粺米求粟"——明确问题类型：已知粺米数量，求对应的粟的数量。这是"由精返粗"的逆向换算。

"五十之"——将粺米数乘以50。这里的"五十"是粟与粺米换算比率中的"粟"方数值。

"二十七而一"——将所得结果除以27。这里的"二十七"是换算比率中的"粺米"方数值。

合起来就是：粺米数 × 50 ÷ 27 = 粟数。

三、古今对照验证

对比维度	古代方法	现代方法
换算比率	粟:粺米 = 50:27	粺米→粟的转换系数为 $\dfrac{50}{27}$
运算顺序	先乘50，再除以27	直接乘以 $\dfrac{50}{27}$
数值结果	$20 \times 50 \div 27 = 37\dfrac{1}{27}$ 升	$20 \times \dfrac{50}{27} = \dfrac{1000}{27} = 37\dfrac{1}{27}$ 升
表述形式	三斗七升、二十七分升之一	$3\text{斗}\,7\dfrac{1}{27}\text{升}$

两种方法在数学本质上完全一致，都是基于同一比率关系的比例运算。

四、背景与中西比较

《九章算术》粟米章建立了一套完整的粮食换算比率体系，称为"粟米之法"。其中记载了多种粮食之间的换算比率，如：

• 粟率五十，粺米二十七
• 粟率五十，粝米三十
• 粟率五十，凿米二十四

这些比率反映了当时的粮食加工技术水平。从粟到粺米，50份粟只能得到27份粺米，出米率为54%；从粟到粝米，50份粟可得30份粝米，出米率为60%。粺米比粝米更精，所以出米率更低。

这种比率体系的建立，在世界数学史上具有领先地位。古希腊数学虽在几何学上成就卓著，但在实用算术的系统化方面，并未形成如此完整的比率换算体系。古印度和阿拉伯数学中虽有类似的比例问题，但《九章算术》粟米章的体系化程度和实用性，在世界范围内都是较早的。

高中课本关联

知识点定位： 本题对应高中数学"数学建模"与"数学文化"相关内容，涉及比例运算与单位换算。

高考考法：

1. 数学文化题：以《九章算术》为背景，考查学生对古代数学文本的理解和比例运算能力。
2. 阅读理解题：给出古代术文，要求学生将其转化为现代数学表达式并求解。
3. 建模应用题：类比粟米换算，设计实际情境中的比例换算问题。

核心能力： 将文字信息转化为数学模型的能力，以及分数运算的准确性。

思考与拓展

问题1： 如果反过来，有粟3斗，想换算成粺米，应该怎样计算？结果是多少？

提示： 由"粟率五十，粺米二十七"可知，粟与粺米的比率为50:27。因此粺米 = 粟 × 27 ÷ 50。3斗 = 30升，30 × 27 ÷ 50 = 810 ÷ 50 = 16.2升 = 1斗6升五分之一升。

问题2： 根据粟米之法，从粟加工到粺米的出米率是多少？从粟加工到粝米（粝米率三十）的出米率又是多少？这说明了什么？

提示： 粺米出米率为 $\dfrac{27}{50} = 54\%$，粝米出米率为 $\dfrac{30}{50} = 60\%$。粺米比粝米加工更精细，所以出米率更低，这符合"越精越少"的实际生产规律。

问题3： 古代1斗等于10升，但不同历史时期的"斗"的实际容量有所不同。如果某朝代1斗 = 12升，那么粺米2斗换算成粟，结果会是多少升？

提示： 此时2斗 = 24升，粟 = 24 × 50 ÷ 27 = 1200 ÷ 27 = 44⁴⁄₂₉升 = 3斗8⁴⁄₂₉升（按1斗=12升计）。这说明单位标准的变化会直接影响换算结果。

一句话总结

粺米求粟，乘以五十再除以二十七——六字术文中，藏着古人用比率解决实际问题的智慧，也展现了《九章算术》将数学与生活紧密相连的务实精神。