粟米·第20题：粝米化粟——'五之，三而一'背后的比率术

原典

今有粝米十五斗五升、五分升之二，欲为粟。问：得几何？

答曰：为粟二十五斗九升。

术曰：以粝米求粟，五之，三而一。

白话翻译

现有粝米一十五斗五升又五分升之二（即15斗5.4升），想换成粟。问：能换得多少粟？

答：能换得粟二十五斗九升。

运算法则：由粝米求粟，将粝米数乘以5，再除以3。

示意图

数学解读

一、粟米章的"率"——古代的比例表

《九章算术》粟米章是中国数学史上最早系统讨论比例运算的篇章。章首列出各种粮食的"率"：

粟率五十，粝米率三十，粺米率二十七，粺米率二十四，粝饭率八十一，粺饭率七十二……

这里的"率"就是换算比率。粟50与粝米30，意味着：

$$\text{粟} : \text{粝米} = 50 : 30 = 5 : 3$$

也就是说，5份粟可以加工成3份粝米，或者说3份粝米等价于5份粟。

二、"五之，三而一"逐句解读

术文："以粝米求粟，五之，三而一。"

这句话包含两层含义：

• "五之"：将粝米数乘以5。因为粟率是粝米率的 $\dfrac{50}{30}=\dfrac{5}{3}$ 倍，所以要乘以5。

• "三而一"：将所得结果除以3。

合起来就是：

$$\text{粟} = \text{粝米} \times 5 \div 3$$

用现代比例语言表达，就是"粝米数乘以比率 $\dfrac{5}{3}$"。

三、现代解法完整过程

第一步：统一单位，将粝米换算成升

题目给出粝米为"十五斗五升、五分升之二"。

1斗 = 10升，因此：

$$15\text{斗}5\frac{2}{5}\text{升} = 15 \times 10 + 5 + \frac{2}{5} = 150 + 5.4 = 155.4\text{升}$$

用分数表示更精确：

$$155\frac{2}{5}\text{升} = \frac{777}{5}\text{升}$$

第二步：应用换算比率

由粟米章给出的率：粟率50，粝米率30，得：

$$\text{粟} = \text{粝米} \times \frac{50}{30} = \text{粝米} \times \frac{5}{3}$$

代入计算：

$$\text{粟} = \frac{777}{5} \times \frac{5}{3} = \frac{777 \times 5}{5 \times 3} = \frac{777}{3} = 259\text{升}$$

第三步：将结果换算回复合单位

$$259\text{升} = 25\text{斗}9\text{升}$$

与标准答曰对照：

答曰"为粟二十五斗九升"，与计算结果完全一致。✓

四、古今对照验证

方法	算式	结果
古术（五之，三而一）	$155\frac{2}{5} \times 5 \div 3$	25斗9升
现代比例法	$155\frac{2}{5} \times \dfrac{5}{3}$	25斗9升
率数法	$\dfrac{777}{5} \times \dfrac{50}{30}$	25斗9升

三种方法殊途同归，结果一致。古术"五之，三而一"本质上就是比例运算 $\dfrac{5}{3}$ 的操作化表述。

五、背景与中西比较

《九章算术》粟米章成书于约公元前1世纪，其中系统记载了28种粮食的换算率，涉及比例、分数运算，是世界数学史上最早的"比例表"之一。

相比之下，古希腊在同期（欧几里得《几何原本》约公元前300年）虽已发展比例理论，但主要应用于几何量，较少涉及实际物资换算。古印度《绳法经》（约公元前800—前500年）虽有比例应用，但不如《九章算术》系统。

粟米章的方法可视为"今有术"（即四项比例术）的特例：

$$\text{所求数} = \dfrac{\text{所有数} \times \text{所求率}}{\text{所有率}}$$

本题中：粝米（所有数）= $155\frac{2}{5}$，粝米率（所有率）= 30，粟率（所求率）= 50，代入即得粟 = $155\frac{2}{5} \times 50 \div 30$。

高中课本关联

知识点： 本题直接对应高中数学必修内容——比例运算与单位换算。

高考考法：

1. 文化背景题：以《九章算术》原文为载体，考查学生对古代数学文本的理解和数学建模能力。如2019年全国卷就曾以"圭田求广"为素材。

2. 分数运算：本题涉及带分数的乘除运算，是高考基础题的常见形式。

3. 数学建模：将实际问题抽象为比例关系，属于数学建模素养的考查范畴。

解题关键：

• 准确理解"率"的含义，建立正确的比例关系
• 注意古代单位换算（1斗=10升）
• 分数运算要规范，避免计算错误

思考与拓展

练习1： 今有粟二十四斗，欲为粝米。问：得几何？

（提示：以粟求粝米，术曰"三之，五而一"）

练习2: 若将粟米章的换算关系写成现代公式，设粟为 $x$，粝米为 $y$，试写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并判断这是什么类型的函数。

练习3: 《九章算术》粝米率三十、粟率五十，这意味着加工1斗粝米需要多少粟？这个比率反映了古代粮食加工的什么实际情况？

一句话总结

"五之，三而一"——《九章算术》粟米章以率换算的核心算法，将比例运算凝练为简洁的操作指令，展现了古代数学家对数量关系的深刻理解和实用化表达。