术名：粟米·第19题——粟化为蘖，膨胀的比率之谜

原典

今有粟二斗，欲为蘖。问：得几何？

答曰：为蘖七斗。

术曰：以粟求蘖，七之，二而一。

白话翻译

现有粟2斗，想让它发芽制成蘖。问：能得到多少蘖？

答：能得到7斗蘖。

术文说：已知粟求蘖，用7乘，再用2除。

示意图

数学解读

一、现代解法完整过程

题目给出的换算关系是：

$$\text{粟} \xrightarrow{\text{发芽}} \text{蘖}$$

已知条件：粟 = 2斗

换算比率：粟 : 蘖 = 2 : 7（即 $\frac{\text{蘖}}{\text{粟}} = \frac{7}{2}$）

计算过程：

$$\text{蘖} = 2 \times \frac{7}{2} = 7 \text{（斗）}$$

答案：为蘖七斗。

二、古术逐句解释

术曰：以粟求蘖，七之，二而一。

逐句拆解：

• "以粟求蘖"：这是说明问题类型——已知粟的数量，求对应的蘖的数量。在《九章算术》粟米章中，不同谷物之间的换算各有专门术文，这里是"粟→蘖"的专用公式。

• "七之"：用7去乘。"之"指代前面提到的粟的数量。即：粟数 × 7。

• 二而一"：用2去除，得到1份结果。"而"是连词，表示接着做除法。即：÷ 2。

合起来就是：

$$\text{蘖} = \text{粟} \times 7 \div 2$$

代入粟 = 2斗：

$$2 \times 7 \div 2 = 14 \div 2 = 7 \text{（斗）}$$

三、古今对照验证

对比项	古术表述	现代数学表达
运算顺序	七之，二而一	先乘7，再除以2
公式	蘖 = 粟 × 7 ÷ 2	$\text{蘖} = \text{粟} \times \frac{7}{2}$
代入计算	$2 \times 7 = 14$，$14 \div 2 = 7$	$2 \times 3.5 = 7$
答案	为蘖七斗	7斗

古术的"七之，二而一"与现代的分数乘法 $\times \frac{7}{2}$ 完全等价，体现了古人将比例运算程序化的智慧。

四、为什么是"七二之比"？

蘖是发芽后的谷物，主要用于酿酒或制麦芽糖。谷物发芽时吸收水分、体积膨胀，质量也会增加。

从生物学角度解释：

• 粟（干谷物）含水量低，质量为基准
• 蘖（发芽谷物）吸收大量水分，胚芽生长，总质量增加

古人通过长期实践总结出：2斗粟 → 7斗蘖，即蘖是粟的3.5倍。这个比率反映了先秦时期酿造工艺的实际经验数据。

五、中西比较

《九章算术》粟米章（约公元前1世纪成书）集中收录了28道谷物换算题，涵盖了粟、粝、粺、糵、麦、稻、豉等多种谷物及其加工品的相互换算。

同一时期的西方数学：

• 古埃及（莱因德纸草书，约公元前1650年）：有谷物换算问题，但以单种谷物为主，缺乏系统化的换算表
• 古巴比伦（约公元前1800年）：有60进制下的谷物计算，但未见如此系统的谷物加工换算比率表

《九章算术》粟米章的独特价值在于：建立了完整的谷物换算比率体系，每种谷物与其他谷物的换算都有明确比率，可以互求。这体现了中国古代农业社会对粮食计量和贸易的精细化管理需求。

高中课本关联

知识点：比例与分数运算

本题涉及的核心数学概念是正比例关系和分数乘法。

关联章节：

• 高中数学必修第一册：函数的概念与性质（正比例函数 $y = kx$）
• 初中数学：分式的乘除运算

高考考法： 此类问题常出现在数学文化题或应用题中，考查：

1. 阅读理解古文中数量关系的能力
2. 建立比例模型的能力
3. 准确进行分数运算的能力

典型题型示例：

《九章算术》中有如下问题："今有粟二斗，欲为蘖，问得几何？"其答案为（ ） A. 5斗 B. 6斗 C. 7斗 D. 8斗

答案：C（由 $2 \times \frac{7}{2} = 7$ 得）

思考与拓展

题目1：根据"以粟求蘖，七之，二而一"的法则，若有粟5斗，欲为蘖，得几何？

提示：$5 \times 7 \div 2 = 35 \div 2 = 17.5$（斗），即一十七斗半。

题目2：若已知"以蘖求粟"是上述运算的逆运算，请推导"以蘖求粟"的术文，并计算：现有蘖21斗，欲换粟，得几何？

提示：逆运算为"二之，七而一"。$21 \times 2 \div 7 = 42 \div 7 = 6$（斗）。

题目3：查阅资料，了解蘖在古代酿造业中的作用，并思考为什么粟与蘖的换算比率是7:2而不是其他数值？

提示：蘖是酿酒用的发芽谷物，发芽过程中吸水膨胀、质量增加，7:2的比率反映了古人对这一工艺过程的经验总结。

一句话总结

《九章算术》粟米第19题以简洁的"七之，二而一"程序，记录了粟化为蘖的换算比率，既是先秦酿造工艺的数学结晶，也是中国古代比例运算程序化的典型范例。