九章算术 · 第 53 讲 · 2026-10-16 · 约 8 分钟

粟米·第15题：粟七斗五升七分升之四化稻——六之五而一的比率术

粟化稻，古术"六之，五而一"暗含5:6的互换比率。七斗五升七分升之四的粟，化稻得九斗三十五分升之二十四，分数运算一丝不乱。

原文

今有粟七斗五升、七分升之四，欲为稻。问：得几何？

答曰：为稻九斗、三十五分升之二十四。

术曰：以粟求稻，六之，五而一。

现在有粟七斗五升又七分升之四，想把它换成稻。问：能换得多少稻？

答：能换得稻九斗又三十五分升之二十四。

算法：用粟求稻，乘以六，再除以五。

粟化稻的比率换算示意图：左侧粟529/7升，经×6÷5运算，右侧得稻3174/35升即9斗24/35升

图1 粟化稻的比率换算：粟 × 6/5 = 稻

先把题目中的"七斗五升、七分升之四"统一成升。古代一斗等于十升，所以：

\text{粟} = 7\text{斗}5\text{升} + \frac{4}{7}\text{升} = 75\text{升} + \frac{4}{7}\text{升} = \frac{75 \times 7 + 4}{7}\text{升} = \frac{529}{7}\text{升}

术文说"六之，五而一"，即乘以六、除以五：

\text{稻} = \frac{529}{7} \times \frac{6}{5} = \frac{529 \times 6}{7 \times 5} = \frac{3174}{35}\text{升}

再把 $\frac{3174}{35}$ 升换算回"斗 + 升"的形式。因为 $1$ 斗 $= 10$ 升，所以：

\frac{3174}{35} = 90 + \frac{24}{35}\text{升} = 9\text{斗} + \frac{24}{35}\text{升}

即 九斗三十五分升之二十四，与答曰完全一致。

"以粟求稻"——已知粟的数量，求稻的数量。这是粟米章的标准句式，"以A求B"表示已知A求B。

"六之"——"之"指代前面的粟，"六之"就是乘以六。

"五而一"——"而"是连词，"五而一"就是除以五（以五除之）。

合起来：稻 = 粟 × 6 ÷ 5。"六之，五而一"五个字就完成了整个换算，简洁得令人惊叹。

为什么"六之，五而一"？因为《九章算术》粟米章给出了各种粮食的互换比率。粟与稻的比率是：

\text{粟} : \text{稻} = 5 : 6

也就是说，5份粟可以换6份稻。所以已知粟求稻，就是乘以 $\frac{6}{5}$ 。这个比率是古代农业社会长期实践的经验总结——粟（未脱壳的谷子）脱壳后得到稻（稻米），5份粟大约能换6份稻。

古术的每一步都与现代分数运算完全对应，结果分毫不差。

《九章算术》粟米章约成书于西汉（公元前1世纪），是世界上最早的系统性粮食互换比率表。粟米章共46题，给出了粟、粝米、粺米、糳米、稻、麦、大豆、小豆等十余种粮食之间的互换比率，堪称一部古代"粮食兑换手册"。

同时期的西方，古埃及《莱因德纸草书》（约公元前1650年）中已有比例问题的记载，但多为具体问题的解法，没有形成系统的比率表。古希腊欧多克索斯（Eudoxus，约公元前408—前355年）提出了抽象的比例理论，但偏向几何与哲学，不如《九章算术》的比率表那样直接服务于农业生产和商业交换。

本题直接关联高中数学以下知识点：

分数运算（必修一）：带分数与假分数的互化、分数乘除法。本题中 $\frac{529}{7} \times \frac{6}{5} = \frac{3174}{35}$ 是标准的分数乘法运算。
比例与比率（必修二）：本题的"六之，五而一"本质上是比例关系 $\text{粟}:\text{稻} = 5:6$ ，对应高中"比例的基本性质"。
单位换算：斗与升的换算（1斗 = 10升）是度量衡换算的典型例子，与物理中的单位换算思想一致。
高考考法：高考数学应用题中常出现"已知A求B"的比例换算问题，如溶液浓度、货币兑换、工程效率等，其数学本质与本题完全相同。

第1题：如果有粟十斗，能化稻多少？用古术"六之，五而一"计算，并验证结果。

第2题：反过来，如果有稻九斗三十五分升之二十四，能化回粟多少？用"五之，六而一"（稻求粟，乘以五除以六）计算，验证是否回到原来的粟量。

第3题：为什么粟出稻的比率是 $5:6$ 而不是 $1:1$ ？从农业加工的角度思考：粟脱壳后得到稻米，加工过程中会有损耗，但为什么比率大于1（即稻比粟多）？提示：考虑"粟"和"稻"在古代的具体含义。

粟化稻，乘以六除以五——七斗五升七分升之四的粟，化稻得九斗三十五分升之二十四，古术"六之，五而一"五个字道尽了比率换算的全部奥秘。

— Y. · 2026-10-16