粟米·第16题：粟七斗八升化为豉——‘六十三之，五十而一’背后的折合率

原文

今有粟七斗八升，欲为豉。问：得几何？

答曰：为豉九斗八升、二十五分升之七。

术曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。

白话翻译

现在有粟七斗八升，想把它折算成豉。问：能得到多少豉？

答：得到豉九斗八升，又二十五分之七升。

方法说：由粟求豉，就用 63 去乘粟的升数，再除以 50。

示意图

图注：粟 $78$ 升 $\xrightarrow{\times 63}$ $4914$ $\xrightarrow{\div 50}$ 豉 $98\frac{7}{25}$ 升 $=9$ 斗 $8$ 升 $\frac{7}{25}$ 升

数学解读

现代解法：先统一成“升”，再按率计算

古代容量单位中，十进关系很整齐：$1$ 石 $=10$ 斗，$1$ 斗 $=10$ 升。题中“粟七斗八升”就是

$$7\text{ 斗 }8\text{ 升}=7\times 10+8=78\text{ 升}.$$

术文“以粟求豉，六十三之，五十而一”，翻译成现代算式是

$$\text{豉}=\text{粟}\times \frac{63}{50}.$$

代入 $78$ 升：

$$78\times \frac{63}{50} =\frac{78\times 63}{50} =\frac{4914}{50} =98.28.$$

因为 $1$ 斗 $=10$ 升，所以 $98.28$ 升 $=9$ 斗余 $8.28$ 升。小数部分

$$0.28=\frac{28}{100}=\frac{7}{25}.$$

于是结果为

$$9\text{ 斗 }8\text{ 升 }\frac{7}{25}\text{ 升},$$

正合答曰“为豉九斗八升、二十五分升之七”。

古术逐句解释：“六十三之”是乘，“五十而一”是除

“以粟求豉”说明已知量是粟，目标量是豉，属于粟米章典型的“相与率”问题：不同物品之间按固定比例折合。

“六十三之”的“之”是代词，指代前面的粟；“六十三之”即用 $63$ 乘粟：

$$78\times 63=4914.$$

“五十而一”是古算中常见表述，表示除以 $50$，也就是把乘得的结果按 $50$ 为一个单位来均分、归一：

$$4914\div 50=98.28.$$

合起来就是

$$\text{豉}=\frac{63}{50}\times \text{粟}.$$

古人不说“乘以一点二六”，而说“六十三之，五十而一”，本质是用整数比 $63:50$ 保存率，避免小数带来的繁琐。这也提示我们：粟米章的核心不是复杂几何，而是把生产、交换中的折合关系固化成可重复操作的算法。

古今对照验证：余数必须落到“升”的分数

把 $98.28$ 升写回古代单位，要特别注意“二十五分升之七”的单位是“升”，不是“斗”。

$$98.28=90+8+0.28.$$

其中 $90$ 升 $=9$ 斗，余下 $8.28$ 升；$8.28$ 升中的整数部分是 $8$ 升，分数部分是

$$0.28=\frac{7}{25}.$$

所以完整答案是

$$9\text{ 斗 }8\text{ 升 }\frac{7}{25}\text{ 升}.$$

若误写成“九斗八升、二十五分斗之七”，就变成 $9$ 斗 $8$ 升再加 $\frac{7}{25}$ 斗，等于多加了 $\frac{7}{25}\times 10=2.8$ 升，显然不对。古代表述里“分”后面紧跟的单位很关键：这里是“二十五分升之七”，即一升的二十五分之七。

再从分数核验一次：

$$\frac{4914}{50} =\frac{2457}{25} =98\frac{7}{25}.$$

因为 $25\times 98=2450$，余 $7$，故为 $98\frac{7}{25}$ 升。换算成斗升：

$$98\frac{7}{25}\text{ 升}=9\text{ 斗 }8\frac{7}{25}\text{ 升}.$$

与答曰逐项一致。

背景与中西比较：固定比率与“归一”思想

粟米章处理的是粟、米、饭、豉、菽、麻、麦等粮食与加工品之间的折合。第16题把“粟”折成“豉”，率是

$$\text{粟}:\text{豉}=50:63.$$

也就是说，同样重量的原料变成豉后，按容量计会“放大”为原来的 $\frac{63}{50}=1.26$ 倍。这个“放大”并非神秘变化，而是古人在长期加工、交换中统计出的经验率：豉在制作、发酵、调味过程中含水量、体积或计量方式与粟不同，于是用固定比率把不同品类纳入同一本账。

从方法结构看，它与今天正比例函数 $y=kx$ 完全同构，其中

$$k=\frac{63}{50}.$$

不同的是，古希腊数学在公元前后的许多文献中更强调几何比例与不可公度量的理论讨论；而《九章算术》粟米章更偏向行政、市场与仓储中的可操作算法：给出率，就给出“乘此数、除彼数”的程序。对中国古代数学而言，价值不在于抽象证明“为什么是 $63:50$”，而在于让官吏、商贾在算筹上能稳定复算。

高中课本关联

本题直接对应高中数学中的几个核心点：

• 分数与小数互化：$\frac{63}{50}=1.26$，$0.28=\frac{7}{25}$。古答案把余数保留为分数，高中则常要求判断何时用分数、何时用小数更精确。
• 正比例关系：$\text{豉}=\frac{63}{50}\times\text{粟}$ 是典型 $y=kx$，可关联必修函数概念与性质，也可画出过原点的直线。
• 单位换算与度量衡：七斗八升 $=78$ 升，体现十进单位制；高考文化题常把“升、斗、石”的换算作为审题陷阱。
• 数学文化与古算今译：高考全国卷及地方卷多次出现《九章算术》《孙子算经》情境题，考法通常是给古术、写现代列式，或给现代条件反推古率。
• 运算求解与表达规范：本题要求把 $98\frac{7}{25}$ 升写成“九斗八升、二十五分升之七”，训练学生注意分数部分所依附的单位，避免“分母对、单位错”。

典型考法示例：给出“以粟求豉，六十三之，五十而一”，要求学生写出 $\text{豉}=\frac{63}{50}\times\text{粟}$，再代入七斗八升；或反向给出豉量求粟，考查倒数率 $\frac{50}{63}$。

思考与拓展

1. 反向折合：若有豉九斗八升、二十五分升之七，欲反求原粟多少升，应如何列式？提示：用 $\text{粟}=\text{豉}\times\frac{50}{63}$，并验证是否回到七斗八升。

2. 换一批原料：今有粟六斗五升，按“六十三之，五十而一”为豉，得豉多少？结果写成“几斗几升、几分升之几”的形式。提示：$65\times63=4095$，再除以 $50$。

3. 率的关系：若某地作坊记录“粟五斗可得一石二斗六分升之几的豉”，这与本题的 $50:63$ 是否一致？请把“一石二斗”化为 $120$ 升，再比较 $\frac{\text{豉}}{\text{粟}}$ 是否等于 $\frac{63}{50}$。

一句话总结

“以粟求豉，六十三之，五十而一”把粟到豉的折合率固定为 $50:63$，于是七斗八升粟经 $78\times63\div50$，精确化为豉九斗八升、二十五分升之七；它既是一题分数运算，也是古人用整数率管理粮食加工与交换的算法缩影。