术名：粟米·第14题——一粟换几麦？古人手中的兑换率

原文

今有粟一十斗八升、五分升之二，欲为麦。问：得几何？

答曰：为麦九斗七升、二十五分升之一十四。

术曰：以粟求菽、答、麻、麦，皆九之，十而一。

白话翻译

现在有粟 10 斗 8 升又 $\frac{2}{5}$ 升，想把它换成麦子。问：能换得多少麦子？

答：能换得麦子 9 斗 7 升又 $\frac{14}{25}$ 升。

术文说：用粟去求大豆、小豆、麻、麦的数量，都是"乘以 9，再除以 10"。

示意图

数学解读

第一步：把古代表述转化为现代数学语言

题中"粟一十斗八升、五分升之二"，按照古代 1 斗 = 10 升 的进制：

$$10 \text{ 斗 } 8 \text{ 升 } \frac{2}{5} \text{ 升} = 10 + \frac{8}{10} + \frac{2}{5 \times 10} = 10 + \frac{4}{5} + \frac{1}{25}$$

通分到分母 25：

$$= 10 + \frac{20}{25} + \frac{1}{25} = 10\frac{21}{25} \text{（斗）}$$

如果用假分数表示：

$$= \frac{271}{25} \text{（斗）}$$

第二步：按古术计算——"九之，十而一"

术文说"皆九之，十而一"，即乘以 $\frac{9}{10}$：

$$\text{麦量} = \frac{271}{25} \times \frac{9}{10} = \frac{2439}{250}$$

将假分数化为带分数：

$$\frac{2439}{250} = 9\frac{189}{250}$$

第三步：将结果还原为古代单位（斗与升）

因为 1 斗 = 10 升，所以 $\frac{189}{250}$ 斗 需要换算成"升"的形式：

$$\frac{189}{250} \times 10 = \frac{1890}{250} = \frac{189}{25} = 7\frac{14}{25} \text{（升）}$$

因此最终结果为：

$$9 \text{ 斗 } 7 \text{ 升 } \frac{14}{25} \text{ 升}$$

这与标准答曰"为麦九斗七升、二十五分升之一十四"完全一致。

第四步：验证答案

反向验算：若麦量为 $9\frac{189}{250}$ 斗，除以 $\frac{9}{10}$（即乘 $\frac{10}{9}$）：

$$\frac{2439}{250} \times \frac{10}{9} = \frac{2439}{225} = \frac{271}{25} = 10\frac{21}{25}$$

恰为原粟量，验证无误。

第五步：理解"以粟求米"的比率本质

《九章·粟米》章的核心是"粟米互换"。古人对各种粮食设定了以粟为基准的兑换率：

兑换方向	比率	操作
粟 → 菽、答、麻、麦	9∶10	粟 × 9 ÷ 10
粟 → 粝米	50∶30	粟 × 3 ÷ 5
粟 → 粺米	27∶25	粟 × 27 ÷ 25

本题的 9∶10 比率说明：10 份粟可换 9 份麦。这个比率由粮食的加工率和实用价值决定，是汉代官方或民间通行的标准。

中西对照

同时期（约公元前1世纪至公元1世纪），古埃及的《莱因德纸草书》中也有大量谷物换算题，但采用的是"赫卡特"容量单位与"奥波尔"货币的换算，体系不同。古印度《绳法经》则偏重祭坛几何。唯有《九章算术》建立了如此系统的粮食兑换比率表，并给出统一算法，这是中国古代实用数学的一大特色。

高中课本关联

本题可直接映射到高中数学多个知识点：

1. 算法与程序框图（必修3/选择性必修） "九之，十而一"就是一个算法：输入粟量 → 乘以 9 → 除以 10 → 输出麦量。可让学生用框图表示这一过程，理解"算法"的古典含义。

2. 进位制与单位换算（数学文化题） 1 斗 = 10 升，但古代还出现"五分升之二"这种非十进分数，涉及带分数与假分数的互化，是高考数学文化题的常见背景。

3. 数学建模 粮食兑换问题本质上是一个正比例模型：$y = kx$，其中 $k = \frac{9}{10}$。这与物理中的正比关系、化学中的滴定计算本质相同。

高考考法举例：以《九章算术》原文为背景，给出术文让学生列式计算，或让学生解释术文的数学含义。例如2019年全国卷就曾以《九章》为背景考查概率或算法。

思考与拓展

1. 若反过来，"以麦求粟"，术文应如何改写？

提示：由"粟 × 9 ÷ 10 = 麦"，可得"麦 × 10 ÷ 9 = 粟"。因此术文应为"十之，九而一"。请用本题答案 9 斗 7 升 $\frac{14}{25}$ 升 验证：

$$\frac{2439}{250} \times \frac{10}{9} = \frac{271}{25} = 10\frac{21}{25} \text{（斗）}$$

恰为原粟量，验证通过。

2. 今有粟 5 斗 3 升，欲为麦，得几何？

按"九之，十而一"：

$$5\frac{3}{10} \times \frac{9}{10} = \frac{53}{10} \times \frac{9}{10} = \frac{477}{100} = 4\frac{77}{100}$$

化为斗升制：$4$ 斗 $7\frac{7}{10}$ 升 $= 4$ 斗 $7$ 升 $\frac{7}{10}$ 升。

3. 思考题：为什么粟换麦的比率是 9∶10，而不是 1∶1？

这涉及粮食的加工率和营养价值。粟（带壳谷子）脱壳后出米率较低，而麦（小麦）磨面率较高，且麦的营养价值通常被认为高于粟。因此 10 份粟只能换 9 份麦，体现了古人对粮食价值的经验判断。

一句话总结

"九之，十而一"——六个字概括了粟麦兑换的全部法则，简洁、精确、可操作，正是中国古代数学"寓理于算"的典范。