术名：粟米·第13题——一斗粟能换多少麻？古人的比例智慧

原文

今有粟五斗、太半升，欲为麻。问：得几何？

答曰：为麻四斗五升、五分升之三。

术曰：今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。

白话翻译

现在有粟五斗又三分之二升，想用来换成麻。问：能换得多少麻？

答：能换得麻四斗五升又五分之三升。

运算方法（今有术）：用"所有数"乘以"所求率"作为分子（实），用"所有率"作为分母（法），分子除以分母就得结果。

示意图

数学解读

一、先弄清题目里的"量"与"率"

粟米章的核心是各种谷物之间的换算，每种粮食都有一个固定的"率"作为换算基准。根据本章给出的比率：

• 粟率：50
• 麻率：45

这意味着：相同价值下，粟与麻的数量比为 50 : 45，或者说单位量的粟可换得 $\frac{45}{50} = \frac{9}{10}$ 量的麻。

题目给的粟是"五斗太半升"。"太半"是古代分数术语，表示三分之二。所以：

$$5 \text{ 斗 } \frac{2}{3} \text{ 升} = 5 \times 10 + \frac{2}{3} = 50 + \frac{2}{3} = \frac{152}{3} \text{ 升}$$

二、现代解法：按比例列式

设可换得麻 $x$ 升。根据比率相等：

$$\frac{\text{粟量}}{\text{麻量}} = \frac{\text{粟率}}{\text{麻率}}$$ $$\frac{\frac{152}{3}}{x} = \frac{50}{45}$$

交叉相乘：

$$x = \frac{152}{3} \times \frac{45}{50} = \frac{152 \times 45}{3 \times 50} = \frac{6840}{150} = \frac{456}{10} = \frac{228}{5} = 45\frac{3}{5} \text{ 升}$$

化成斗与升的混合表示：

$$45\frac{3}{5} \text{ 升} = 40 \text{ 升} + 5\frac{3}{5} \text{ 升} = 4 \text{ 斗 } 5\frac{3}{5} \text{ 升}$$

即四斗五升又五分升之三，与标准答案完全吻合。

三、古术拆解："今有术"四步走

术文说："以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。"

逐句解释：

术文	含义	对应本题数值
所有数	题目中给出的已知数量	粟 $\frac{152}{3}$ 升
所有率	已知事物对应的率	粟率 50
所求率	要求的那个事物对应的率	麻率 45
实	分子，即"所有数 × 所求率"	$\frac{152}{3} \times 45$
法	分母，即"所有率"	50
实如法而一	实除以法，得到结果	$\frac{152 \times 45}{3 \times 50} = 45\frac{3}{5}$

运算过程：

$$\text{实} = \frac{152}{3} \times 45 = 152 \times 15 = 2280$$ $$\text{法} = 50$$ $$\text{得} = \frac{2280}{50} = 45.6 = 45\frac{3}{5} \text{ 升}$$

四、古今对照：本质相同，表达不同

现代解法与古术本质上是同一个公式：

$$x = \frac{\text{所有数} \times \text{所求率}}{\text{所有率}}$$

这正是比例的内项之积等于外项之积的变形。古人的"今有术"把比例问题程序化为固定的四步操作——识别率、定实法、做乘法、再除法——任何"已知一物求他物"的问题都套这个流程。

与现代数学的对照：

$$\frac{a}{x} = \frac{b}{c} \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{a \cdot c}{b}$$

其中 $a$ 是所有数，$b$ 是所有率，$c$ 是所求率。

五、背景与中西比较

"今有术"在《九章算术》粟米章中是通术，统领全章二十多个换算题目。这种算法的独立发现，是中国数学的一大亮点。

西方类似的算法称为"商业法则"（Rule of Three）。据数学史家研究，印度的《阿里亚哈塔历书》（公元499年）已有明确记载，而欧洲要到中世纪晚期才广泛使用。中国的"今有术"在公元1世纪已成系统，比印度早约四百年，比欧洲早约一千年。

值得注意的是，"今有术"的名字本身就很有意思——"今有"二字直接点明"现在已知……"的应用题语气，说明古人编书时就想着让读者一看就懂、一学就会。

高中课本关联

知识点：等比性质与比例运算

教材位置：人教A版必修第二册第六章"平面向量"的数学建模部分，以及选择性必修第三册中的"比例与相似"专题。

高考考法：

1. 数学文化题：以《九章算术》原文为素材，要求学生提取数学信息并计算。例如2019年全国卷就考查过"竹节几何"问题。
2. 实际应用题：将"今有术"包装成"原料加工""浓度配比""汇率换算"等现代情境，考查学生建立比例模型的能力。
3. 算法框图题：要求将"今有术"的步骤写成程序框图或伪代码，体现算法思想。

解题关键：识别题目中的"率"（即比例系数），明确哪个是"所有"、哪个是"所求"，然后套用公式。

思考与拓展

基础题：今有粟七斗五升，欲为粝米。问：得几何？（粟率五十，粝米率三十）

提示：$7 \times 10 + 5 = 75$ 升，$75 \times \frac{30}{50} = 45$ 升 = 4斗5升。

进阶题：现有粟、麻、米三种粮食，粟率五十，麻率四十五，米率三十。今有粟一石（十斗），先换成麻，再换成米。问：最终得米几何？

提示：分步计算。第一步粟→麻：$100 \times \frac{45}{50} = 90$ 升；第二步麻→米：$90 \times \frac{30}{45} = 60$ 升 = 6斗。

挑战题：假设"今有术"中的"所有率"与"所求率"之比为 $k$。证明：当所有数固定时，所得结果与所有数成正比，与所有率成反比，与所求率成正比。

提示：设结果为 $y$，则 $y = \frac{a \cdot c}{b}$。固定 $a$，则 $y \propto c$ 且 $y \propto \frac{1}{b}$。

一句话总结

"今有术"是中国古代对比例运算的程序化总结——以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一——这套算法比欧洲的"商业法则"早了近千年，至今仍是解决正比例问题的通法。