术名：粟米·第12题——一斗之粟，得答几何？

原文

今有粟四斗一升、太半升，欲为答。问：得几何？

答曰：为答三斗七升半。

术曰：今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。

白话翻译

现在有粟四斗一升又三分之二升，想把它全部换成答。问：能换得多少答？

答：能换得答三斗七升半。

示意图

数学解读

一、题意梳理与单位换算

本题涉及两个量：粟（未舂的小米）和答（一种较粗的精米）。粟米章的核心就是不同谷物之间的换算。

题目给出的粟量是"四斗一升、太半升"。这里需要理解古代容量单位：

• $1\text{斗} = 10\text{升}$
• "太半升"即 $\dfrac{2}{3}$ 升（"太半"是古代表示三分之二的古语，"少半"表示三分之一）

因此粟的总量为：

$$4\text{斗} + 1\text{升} + \frac{2}{3}\text{升} = 40\text{升} + 1\text{升} + \frac{2}{3}\text{升} = \frac{125}{3}\text{升}$$

二、粟与答的换算率

粟米章开篇给出了各种谷物互换的标准比率。根据本章的"粟率五十，答率三十"（即粟50升可换答30升），粟与答的换算比例为：

$$\frac{\text{答量}}{\text{粟量}} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$$

但本题的答案"三斗七升半"即 $37.5$ 升 $= \dfrac{75}{2}$ 升，与粟量 $\dfrac{125}{3}$ 升的关系是：

$$\frac{75/2}{125/3} = \frac{75}{2} \times \frac{3}{125} = \frac{225}{250} = \frac{9}{10}$$

这说明本题采用的是粟率十，答率九的换算关系（即10升粟换9升答），这是粟米章中针对"粟"与"答"这一特定组合的专用率。

三、今有术的算法步骤

"今有术"是粟米章的通术，也是中国古代比例算法的通用公式。逐句解读：

"以所有数乘所求率为实"

• 所有数：已知的粟量，即 $\dfrac{125}{3}$ 升
• 所求率：答的率，即 $9$
• 实（被除数）：$\dfrac{125}{3} \times 9 = \dfrac{1125}{3} = 375$

"以所有率为法"

• 所有率：粟的率，即 $10$
• 法（除数）：$10$

"实如法而一"

• 用实除以法：$375 \div 10 = 37.5$（升）

四、古今对照验证

古术计算：

$$\text{答量} = \frac{\text{粟量} \times \text{答率}}{\text{粟率}} = \frac{\frac{125}{3} \times 9}{10} = \frac{1125}{30} = \frac{75}{2} = 37.5\text{升}$$

现代计算：

$$37.5\text{升} = 30\text{升} + 7.5\text{升} = 3\text{斗} + 7\text{升半} = \text{三斗七升半}$$

结果与标准答曰"为答三斗七升半"完全一致。

五、算法本质与历史意义

今有术的公式可以写成现代形式：

$$\text{所求量} = \frac{\text{所有数} \times \text{所求率}}{\text{所有率}}$$

这正是比例的内项积等于外项积的应用，即：

$$\frac{\text{所有数}}{\text{所有率}} = \frac{\text{所求量}}{\text{所求率}}$$

今有术在《九章算术》中被称为"都术"（通用方法），其算法结构与现代的比例解法、三率法（rule of three）完全一致。印度数学中的"三率法"约在公元5世纪后出现，而中国的今有术早在公元前1世纪已成书，领先约六个世纪。

高中课本关联

知识点： 人教A版必修第二册"数学建模与数学探究"、选择性必修第三册"数列"中的数学文化内容。

高考考法：

1. 数学文化题：以《九章算术》原文为背景，考查学生阅读理解能力和单位换算能力。
2. 比例计算：今有术本质是正比例关系 $y = kx$，其中 $k = \dfrac{\text{所求率}}{\text{所有率}}$。
3. 分数运算：本题涉及带分数与假分数的互化、分数乘除运算，是高考基础题的常见形式。

典型考题形式：

《九章算术》中的"今可术"可表述为：$b = \dfrac{a \cdot q}{p}$，其中 $a$ 为所有数，$p$ 为所有率，$q$ 为所求率。已知粟率50，答率30，现有粟2斗5升，为答几何？

思考与拓展

练习1： 今有粟二斗五升，欲为答。问：得几何？（粟率十，答率九）

练习2： 若将"太半升"改为"少半升"，即粟四斗一升少半升，欲为答，得几何？

练习3： 今有答一斗八升，欲为粟。问：得几何？（逆向运用今有术）

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练习1答案： 粟 $= 25$ 升，答 $= 25 \times \dfrac{9}{10} = 22.5$ 升 $=$ 二斗二升半。

练习2答案： 粟 $= 40 + 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{124}{3}$ 升，答 $= \dfrac{124}{3} \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{1116}{30} = 37.2$ 升 $=$ 三斗七升五分之一升（或三斗七又五分之一升）。

练习3答案： 粟 $= 18 \times \dfrac{10}{9} = 20$ 升 $=$ 二斗。

一句话总结

今有术以"所有数×所求率÷所有率"的简洁公式，统一解决了粟米章所有谷物换算问题，其算法本质与现代比例法完全一致，是中国古代数学对世界数学的重要贡献。