粟米·第11题：三斗少半升粟换菽——今有术的完整演算

原文

今有粟三斗少半升，欲为菽。问：得几何？

答曰：为菽二斗七升、一十分升之三。

术曰：今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。

白话翻译

现在有粟三斗又三分之一升，想换成菽（大豆）。问：能换得多少菽？

答：能换得二斗七升又十分之三升的菽。

计算方法——今有术：用"所有数"乘以"所求率"作为被除数（实），用"所有率"作为除数（法），用除数去除被除数得到结果。

示意图

数学解读

第一步：理解题意与单位换算

题目中的"三斗少半升"需要仔细拆解：

• "斗"和"升"是十进制容量单位：1斗 = 10升
• "少半升"是古代分数表述，"少半"即 $\frac{1}{3}$

所以"三斗少半升" = $3 \times 10 + \frac{1}{3} = 30 + \frac{1}{3} = \frac{91}{3}$ 升

第二步：确定"率"——粟米章的核心概念

《九章算术》粟米章开篇就给出了各种粮食的"率"（换算比率）。根据本章题1所给：

• 粟率 = 50
• 菽率 = 45

"率"本质上就是各种谷物之间的换算系数。粟率50意味着"每50份粟可换45份菽"，体现了不同粮食的价值比例。

第三步：今有术的算法步骤

"今有术"是本章的通术（通用方法），四个要素对应如下：

古术术语	含义	本题对应值
所有数	已有物品的数量	$\frac{91}{3}$ 升
所有率	已有物品的率	50
所求率	所求物品的率	45
实	被除数 = 所有数 × 所求率	$\frac{91}{3} \times 45$
法	除数 = 所有率	50

计算过程：

$$\text{实} = \frac{91}{3} \times 45 = 91 \times 15 = 1365$$ $$\text{法} = 50$$ $$\text{得菽} = \frac{\text{实}}{\text{法}} = \frac{1365}{50} = \frac{273}{10} = 27.3 \text{ 升}$$

第四步：将结果转换为古代表述

$27.3$ 升 = $27$ 升 + $0.3$ 升 = $2$ 斗 $7$ 升 + $\frac{3}{10}$ 升

用古代表述就是：二斗七升、一十分升之三

与原文答曰完全一致！✓

第五步：古今对照——今有术的本质

今有术的公式：

$$\text{所求数} = \frac{\text{所有数} \times \text{所求率}}{\text{所有率}}$$

这正是现代数学中的比例内项定理（或叫交叉相乘法）：

$$\frac{\text{所有数}}{\text{所有率}} = \frac{\text{所求数}}{\text{所求率}}$$

本题即：

$$\frac{91/3}{50} = \frac{x}{45}$$

解得：

$$x = \frac{91}{3} \times \frac{45}{50} = \frac{91 \times 45}{3 \times 50} = \frac{4095}{150} = \frac{273}{10} = 27.3$$

两种方法殊途同归，今有术本质上就是比例求解的算法化表达。

第六步：背景与中西比较

"今有术"在《九章算术》中不仅是粟米章的通术，更被广泛应用于后续各章。其核心思想——通过"率"建立量的比例关系——体现了中国古代数学的算法化特征。

中西对照：在西方，类似的"三率法"（Rule of Three）最早系统记载于古印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta，598–668年）的著作中，后经阿拉伯数学家花拉子米（al-Khwarizmi，约780–850年）传播到欧洲。而《九章算术》成书于公元前1世纪左右，"今有术"的出现比西方早了约700年，足见中国古代数学在比例理论方面的领先地位。

高中课本关联

知识点对应：

• 人教版必修一/二：函数与方程、比例与相似
• 选择性必修三：数学建模——建立函数模型解决实际问题

高考考法链接：

1. 数学文化题：近年高考频繁出现以《九章算术》为背景的题目，考查学生从古文材料中提取数学信息的能力。例如2022年全国卷曾考查"堑堵"（三棱柱）的体积计算。

2. 比例应用题：今有术本质是比例求解，对应高中"正比例函数"与"反比例函数"的应用。高考常考"已知两组量的比值，求第三量"的题型。

3. 算法框图题：今有术的"实如法而一"可转化为算法步骤，与高中数学"算法初步"内容关联，可设计程序框图题。

典型变式：若粟率变为 $a$，菽率变为 $b$，原有粟 $x$ 升，求菽的数量——这正是正比例函数 $y = \frac{b}{a}x$ 的建模问题。

思考与拓展

题目一（基础） 今有粟五斗二升半，欲为粝米。问：得几何？ （提示：粝米率为30，粟率为50）

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五斗二升半 = 52.5升 = $\frac{105}{2}$升

$$\text{得粝米} = \frac{105}{2} \times \frac{30}{50} = \frac{105 \times 3}{10} = \frac{315}{10} = 31.5 \text{ 升}$$

答：得粝米三斗一升半。

题目二（进阶） 今有粟一斛（100升），欲换粺米和菽共50升，且粺米与菽之比为2:3。问：粺米、菽各几何？ （提示：粺米率27，菽率45，粟率50）

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设粺米 $2x$ 升，菽 $3x$ 升，则 $2x + 3x = 50$，得 $x = 10$

粺米 = 20升，菽 = 30升

所需粟 = $20 \times \frac{50}{27} + 30 \times \frac{50}{45} = \frac{1000}{27} + \frac{1500}{45} = \frac{1000}{27} + \frac{100}{3} = \frac{1000 + 900}{27} = \frac{1900}{27} \approx 70.37$升

答：粺米二斗，菽三斗，共需粟约七斗 $\frac{1900}{27}$升。

题目三（拓展） 《九章算术》粟米章共涉及28种粮食的换算率。若粟率为50，粝米率为30，今有粝米若干，欲换为粟，且要求"粝米数"与"粟数"之和为84升。问：粝米、粟各几何？

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设粝米 $x$ 升，粟 $y$ 升

由题意：$x + y = 84$

由换算关系：$y = x \times \frac{50}{30} = \frac{5}{3}x$

代入：$x + \frac{5}{3}x = 84$，即 $\frac{8}{3}x = 84$

$x = 84 \times \frac{3}{8} = \frac{252}{8} = 31.5$升

$y = 84 - 31.5 = 52.5$升

答：粝米三斗一升半，粟五斗二升半。

一句话总结

今有术以"率"为核心，通过"以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一"的算法，将比例换算问题转化为统一的运算程序——这正是中国古代数学"算法化"精神的典型体现，也是现代比例应用题的古代原型。