粟米·第10题——九斗八升粟，能换多少御饭？

原文

今有粟九斗八升，欲为御饭。问：得几何？

答曰：为御饭八斗二升、二十五分升之八。

术曰：以粟求御饭，二十一之，二十五而一。

白话翻译

现有粟米九斗八升，想把它加工成御饭（供宫廷食用的精米）。问：能得到多少御饭？

答：可得御饭八斗二升又二十五分升之八。

算法：由粟求御饭，先乘以二十一，再除以二十五。

示意图

数学解读

古术逐句讲解

"以粟求御饭，二十一之，二十五而一。"这句话只有短短十二个字，却把整个算法说得清清楚楚。

"以粟求御饭"——这是设定问题类型：已知粟米，求御饭。在《九章算术》粟米章中，"以甲求乙"是标准句式，表示从甲种粮食换算成乙种粮食。

"二十一之"——"之"在这里是动词，"乘以"的意思。"二十一之"就是"乘以二十一"。

"二十五而一"——"而"是连词，"一"是"除"的意思（古汉语中"一"可通"壹"，此处指除以一份、归一）。"二十五而一"就是"除以二十五"。

合起来：御饭 = 粟 × 21 ÷ 25。

现代解法

第一步：统一单位。 古代容量单位，1斗 = 10升。九斗八升 = 9 × 10 + 8 = 98升。

第二步：确定换算率。 粟与御饭的比率是 25 : 21，即25份粟可加工出21份御饭。换算系数为 $\dfrac{21}{25}$。

第三步：列式计算。

$$98 \times \frac{21}{25} = \frac{98 \times 21}{25} = \frac{2058}{25}$$

第四步：化为带分数并还原单位。

$$\frac{2058}{25} = 82\frac{8}{25} \text{（升）}$$

82升 = 8斗2升，所以结果为八斗二升又二十五分升之八。

古今对照验证

步骤	古法	现代计算
粟的数量	九斗八升	98升
运算	二十一之，二十五而一	$98 \times 21 \div 25$
中间结果	（筹算过程）	$\dfrac{2058}{25}$
最终结果	八斗二升、二十五分升之八	$82\dfrac{8}{25}$ 升 = 8斗2升 + $\dfrac{8}{25}$升

两者完全一致。古代表述"二十五分升之八"即现代分数 $\dfrac{8}{25}$ 升，读法顺序与现代相反（先说分母再说分子），但数值相同。

背景与中西比较

御饭是汉代宫廷食用的精米，由粟（小米）经过精细舂捣加工而成。加工过程中有损耗，25份粟只能出21份御饭，出米率为 $\dfrac{21}{25} = 84\%$。

这种"以率换算"的方法，与古希腊《几何原本》中的比例论（约公元前300年）在数学本质上相同——都是处理两个量的比。但《九章算术》粟米章（约公元前1世纪成书）将比例算法直接嵌入实际经济生活，给出了46种粮食互换的实用率，比希腊数学更贴近民生应用。古希腊数学家研究比例时追求理论纯粹性，而中国古人则直接为赋税、贸易、加工服务，这是两种文明不同的数学气质。

高中课本关联

本题对应高中数学必修一"函数与方程"章节中的比例模型，以及选择性必修中的分数运算。

知识点：

• 分数运算：$98 \times \dfrac{21}{25} = \dfrac{2058}{25}$ 的约分与带分数化
• 正比例函数：御饭量 = $\dfrac{21}{25}$ × 粟量，是过原点的直线
• 单位换算：1斗 = 10升，古代容量单位的十进制

高考考法： 此类问题常以"数学文化"题形式出现，给出一段古代数学材料，要求学生理解古术并用现代方法求解。例如2017年全国卷就曾以《九章算术》为背景命题。解题关键是：
①读懂古术的运算指令；
②正确进行分数运算；
③注意古代分数表述顺序与现代相反。

思考与拓展

第1题（基础）： 现有粟五斗六升，欲为御饭，用古术计算得多少？请用现代分数运算验证。

第2题（变式）： 若御饭的加工率改为"粟五斗出御饭四斗"，即比率为4/5，则九斗八升粟能出多少御饭？与原题相比，出饭率提高了还是降低了？

第3题（探究）： 《九章算术》粟米章共给出46种粮食互换率。这些率都是分数形式（如粟率50、御饭率21等）。请思考：为什么古人选择用"率"（而非直接给答案）来记载这些换算关系？这种处理方式有什么数学优势？

一句话总结

九斗八升粟换御饭，乘二十一除以二十五，得八斗二升二十五分升之八——古人用一个简洁的分数运算，把粮食加工的损耗率精确地刻进了数字里。