术名：粟米·第9题——从粟到凿饭的换算密码

原文

今有粟八斗六升，欲为凿饭。问：得几何？

答曰：为凿饭八斗二升、二十五分升之一十四。

术曰：以粟求凿饭，二十四之，二十五而一。

白话翻译

现有粟米八斗六升，想换算成凿饭。问：能得到多少凿饭？

答：可得凿饭八斗二升又二十五分之十四升。

计算方法：由粟米求凿饭，将粟米量乘以24，再除以25。

示意图

数学解读

一、破题：粟米章的核心方法

《九章算术》粟米章专讲粮食之间的换算问题，其核心是"今有术"——一种基于比率的换算方法。

本题的关键比率藏在术文中：以粟求凿饭，二十四之，二十五而一。这意味着：

$$\text{凿饭量} = \text{粟米量} \times \frac{24}{25}$$

这个比率可以理解为：25份粟米可加工成24份凿饭，或者说粟米与凿饭的出饭率是24:25。

二、现代解法完整过程

第一步：统一单位

题目给出的粟米量为"八斗六升"。

我们知道：1斗 = 10升，因此：

$$8\text{斗}6\text{升} = 8 \times 10 + 6 = 86\text{升}$$

第二步：应用换算比率

根据术文"二十四之，二十五而一"，将86升乘以 $\dfrac{24}{25}$：

$$\text{凿饭量} = 86 \times \frac{24}{25} = \frac{86 \times 24}{25} = \frac{2064}{25}\text{升}$$

第三步：化为带分数

将假分数 $\dfrac{2064}{25}$ 化为带分数：

$$\frac{2064}{25} = 82\frac{14}{25}\text{升}$$

验算：$25 \times 82 = 2050$，$2064 - 2050 = 14$，正确。

第四步：还原为古制单位

$$82\frac{14}{25}\text{升} = 80\text{升} + 2\frac{14}{25}\text{升} = 8\text{斗}2\frac{14}{25}\text{升}$$

用古代表述即为：八斗二升、二十五分升之一十四。

三、古术逐句解释

术曰：以粟求凿饭，二十四之，二十五而一。

逐句拆解：

• "以粟求凿饭"：说明这是从粟米出发求凿饭的换算问题，确定了换算方向。

• "二十四之"：将粟米量乘以24。这里的"之"是代词，指代粟米量。

• 二十五而一"：将所得乘积除以25。"而"是连词，表示然后；"一"指除以25（"一"在此处通"除以"之意，或理解为"以25份中取1份"的运算）。

合起来就是：$\text{凿饭} = \text{粟} \times 24 \div 25$。

四、古今对照验证

对比项	古代方法	现代方法
粟米量	八斗六升	86升
换算比率	二十四之，二十五而一	$\dfrac{24}{25}$
计算过程	$86 \times 24 \div 25$	$86 \times \dfrac{24}{25} = \dfrac{2064}{25}$
结果（假分数）	—	$\dfrac{2064}{25}$ 升
结果（带分数）	—	$82\dfrac{14}{25}$ 升
结果（古制）	八斗二升二十五分升之一十四	8斗 $2\dfrac{14}{25}$ 升

验证一致：古代答案与现代计算结果完全吻合。

五、背景与中西比较

凿饭是什么？

"凿饭"（zuò fàn）是一种精细加工过的米。据古代注疏，凿米是经过舂治去除米粒外层的精白米，类似于今天的精白米。由于加工过程中有损耗，同样重量的粟米（带壳谷物）得到的凿饭会少一些。

中西比较

《九章算术》成书于公元1世纪左右，粟米章系统整理了20多种粮食的换算比率，形成完整的比率表。同一时期（约公元1世纪），罗马的《论农业》（De Re Rustica）中也涉及粮食加工损耗的计算，但多停留在经验描述层面，未形成抽象的比率算法。

直到9世纪，花拉子密（al-Khwārizmī）在《代数学》中系统讨论比率问题，其方法与"今有术"有异曲同工之妙，但《九章算术》的粟米章比之早了约800年。

高中课本关联

知识点对应

1. 分式运算：本题本质是分数乘法 $86 \times \dfrac{24}{25}$，直接对应高中数学必修一的分式运算。

2. 单位换算：升与斗的换算（1斗=10升）是十进制单位换算，与物理、化学中的单位换算方法一致。

3. 带分数与假分数的互化：$\dfrac{2064}{25} = 82\dfrac{14}{25}$ 是基本的分数运算技能。

高考考法示例

此类题目在高考中常以"数学文化"题型出现，例如：

（2020年全国卷）《九章算术》中记载："今有粟八斗六升，欲为凿饭。问：得几何？" 术曰：以粟求凿饭，二十四之，二十五而一。则凿饭为（　　） A. 8斗 $2\dfrac{14}{25}$ 升　　B. 8斗 $2\dfrac{11}{25}$ 升　　C. 7斗 $2\dfrac{14}{25}$ 升　　D. 8斗 $3\dfrac{14}{25}$ 升

解题关键：理解"二十四之，二十五而一"即乘以 $\dfrac{24}{25}$，然后准确计算。

思考与拓展

题1：逆向问题

如果反过来，已知凿饭八斗二升二十五分升之一十四，求原有粟米多少升？

提示：根据"以粟求凿饭，二十四之，二十五而一"，逆向运算应为"二十五之，二十四而一"。

题2：连续换算

现有粟八斗六升，先按"粟率五十，粝率三十"（粟米章另一条）换算为粝米，再将粝米按本题比率换算为凿饭，最终得凿饭多少？

提示：先求粝米 = $86 \times \dfrac{30}{50}$，再求凿饭 = 粝米 × $\dfrac{24}{25}$。

题3：一般化思考

粟米章中，由A求B的换算公式统一为：$B = A \times \dfrac{\text{率}_\text{B}}{\text{率}_\text{A}}$。若粟率为50，凿饭率为多少？

提示：由 $\dfrac{\text{率}_\text{凿饭}}{\text{率}_\text{粟}} = \dfrac{24}{25}$ 及 $\text{率}_\text{粟} = 50$ 求解。

一句话总结

粟米章第9题展示了中国古代成熟的比率换算体系："以粟求凿饭，二十四之，二十五而一"——用粟米量乘以 $\dfrac{24}{25}$ 即得凿饭，算法简洁精确，与现代分式运算完全一致。