术名：粟米·第8题——从粟到粺饭的换算密码

原文

今有粟三斗六升，欲为粺饭。问：得几何？

答曰：为粺饭三斗八升、二十五分升之二十二。

术曰：以粟求粺饭，二十七之，二十五而一。

白话翻译

现在有粟三斗六升，想把它做成粺饭。问：能得多少粺饭？

答：能得粺饭三斗八升又二十五分之二十二升。

计算法则：由粟求粺饭，先把粟量乘以二十七，再除以二十五。

示意图

数学解读

第一步：理解题意与单位换算

题目给出的粟量是"三斗六升"。在古算中，容积单位采用十进制：

$$1 \text{ 斗} = 10 \text{ 升}$$

因此三斗六升可以统一换算为升：

$$3 \text{ 斗} \; 6 \text{ 升} = 3 \times 10 + 6 = 36 \text{ 升}$$

这一步看似简单，却是解题的关键——将复合单位转化为单一单位，便于后续运算。

第二步：按术文执行运算

术文给出了明确的算法："以粟求粺饭，二十七之，二十五而一。"

"二十七之"就是乘以二十七，"二十五而一"就是除以二十五。综合起来：

$$\text{粺饭量} = \text{粟量} \times \frac{27}{25}$$

代入粟量 $36$ 升：

$$\text{粺饭量} = 36 \times \frac{27}{25} = \frac{36 \times 27}{25} = \frac{972}{25} \text{ 升}$$

第三步：将结果转化为古算表述

得到 $\frac{972}{25}$ 升后，需要将其转化为题目答曰中的形式。

首先进行除法：

$$972 \div 25 = 38 \cdots 22$$

即：

$$\frac{972}{25} = 38 \frac{22}{25} \text{ 升}$$

再将 $38$ 升转化为斗和升：

$$38 \text{ 升} = 3 \times 10 + 8 = 3 \text{ 斗} \; 8 \text{ 升}$$

因此：

$$\frac{972}{25} \text{ 升} = 3 \text{ 斗} \; 8 \text{ 升} \; \frac{22}{25} \text{ 升}$$

与答曰完全一致：为粺饭三斗八升、二十五分升之二十二。

第四步：古术的数学本质

术文"二十七之，二十五而一"本质上是一个比例换算。

在《九章算术》粟米章中，刘徽注给出了各种粮食的换算率。粟与粺饭的换算率是：

$$\text{粟} : \text{粺饭} = 25 : 27$$

也就是说，$25$ 升的粟可以加工成 $27$ 升的粺饭。

由粟求粺饭的公式就是：

$$\text{粺饭量} = \text{粟量} \times \frac{27}{25}$$

这正是"二十七之，二十五而一"的数学含义。

第五步：古今对照验证

我们用现代比例方法重新验算一遍：

已知粟与粺饭的比为 $25 : 27$，设粺饭为 $x$ 升，则：

$$\frac{x}{36} = \frac{27}{25}$$ $$x = 36 \times \frac{27}{25} = \frac{972}{25} = 38.88 \text{ 升}$$

转化为古制：$38.88$ 升 $= 3$ 斗 $8$ 升 $0.88$ 升。

而 $0.88 = \frac{88}{100} = \frac{22}{25}$，所以：

$$x = 3 \text{ 斗} \; 8 \text{ 升} \; \frac{22}{25} \text{ 升}$$

与标准答曰逐字吻合。

第六步：背景与中西比较

《九章算术》粟米章共涉及 $31$ 种粮食的换算，每种粮食都有固定的"粝米率""粺米率""糳米率"等。这些率是古代官方规定的标准换算比率，具有法律效力。

在西方，古希腊数学家如欧几里得在《几何原本》（约公元前300年）中也讨论过比例理论，但主要是几何比例。而粮食加工中的实际应用比例计算，在中国《九章算术》（约公元1世纪）中已有系统记载，比欧洲同类应用早了约十个世纪。

古印度数学家如婆罗摩笈多（公元7世纪）也涉及比例问题，但其应用场景多与商业利息相关，而非粮食加工。

高中课本关联

本题的核心数学思想是比例的应用，直接对应高中数学多个知识点：

1. 数学建模（人教A版必修第一册）

本题可视为一个简单的数学建模问题：已知两种量的比例关系，由一种量求另一种量。这是高考应用题的常见模式。

2. 复数的引入与数的扩充（人教A版必修第二册）

虽然本题不涉及复数，但其中分数运算、单位换算的思想，与数的运算体系一脉相承。

3. 数列与数学归纳法（人教A版选择性必修第二册）

粟米章的各种换算率可以看作是一个"率表"，类似于数列的通项公式，体现了古人的模式化思维。

高考考法示例：

题目：某工厂生产一种产品，原材料与成品的损耗比为 $4:5$。现有原材料 $36$ 吨，问可生产成品多少吨？

这正是本题的"现代版"，解题方法与"二十七之，二十五而一"本质相同。

思考与拓展

思考题 1：

若反过来，已知粺饭三斗八升、二十五分升之二十二，求原粟量，应该如何计算？请用古术"以粺饭求粟"的方法验证。

提示： 粺饭与粟的比为 $27:25$，所以应将粺饭量乘以 $\frac{25}{27}$。

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思考题 2：

若粟量不是整数升，而是"二斗五升、五分升之三"，请求出粺饭量，并用古算形式表述。

提示： 先将带分数化为假分数：$2 \frac{3}{5} = \frac{13}{5}$ 斗 $= 26$ 升，再按术计算。

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思考题 3：

查阅资料，了解《九章算术》粟米章中"粝米""粺米""糳米"的区别，并整理出它们与粟的换算率。这些换算率之间是否存在某种数学规律？

一句话总结

粟米换算是古人对比例的精彩应用——"二十七之，二十五而一"短短八字，浓缩了粟与粺饭 $25:27$ 的换算率，体现了中国古代数学以率统量、以法驭算的独特智慧。