术名：粟米第7题——二斗三升粟，能换多少粝饭？

原文

今有粟二斗三升，欲为粝饭。问：得几何？

答曰：为粝饭三斗四升半。

术曰：以粟求粝饭，三之，二而一。

白话翻译

现在有粟米二斗三升，想把它全部做成粝饭。问：能得到多少粝饭？

答：能得到粝饭三斗四升半。

计算方法：由粟米求粝饭，把粟米的数量乘以3，再除以2。

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示意图

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数学解读

一、题意与单位换算

这道题涉及的是古代粮食加工中的换算问题。粟是带壳的谷物，粝饭是去壳后蒸煮的米饭。古人发现，一定量的粟经过加工后，得到的粝饭量与粟量之间存在固定的比例关系。

题目给出的数据是"二斗三升"。在秦汉度量衡体系中，1斗 = 10升，所以：

$$2 \text{斗} 3 \text{升} = 2 \times 10 + 3 = 23 \text{升}$$

这是一个复合单位换算，在现代数学中属于单位换算的基本功。

二、古术算法详解

术文"以粟求粝饭，三之，二而一"的意思是：

• "三之"：把粟米的数量乘以3
• "二而一"：再把所得结果除以2

用现代符号表示，若粟米量为 $x$，则粝饭量为：

$$y = x \times \frac{3}{2} = \frac{3x}{2}$$

这说明粟与粝饭的兑换率是 $3:2$，或者说粝饭率是粟率的 $\frac{3}{2}$ 倍。

三、现代数学解法

按照古术的算法步骤，我们完整计算一遍：

第一步：统一单位

粟米量 = 2斗3升 = 23升

第二步：执行"三之"

$$23 \times 3 = 69 \text{（升·倍）}$$

第三步：执行"二而一"

$$69 \div 2 = 34.5 \text{升}$$

第四步：还原为古代表述

$$34.5 \text{升} = 3 \text{斗} 4 \text{升} 5 \text{合} = 3 \text{斗} 4 \frac{1}{2} \text{升}$$

用古代表述就是"三斗四升半"。

四、古今对照验证

步骤	古术表述	现代数学表达	数值
已知	粟二斗三升	$x = 23$ 升	23
第一步	三之	$x \times 3$	69
第二步	二而一	$69 \div 2$	34.5
答	粝饭三斗四升半	$34.5$ 升 = $3\frac{9}{2}$ 升	3斗4.5升

现代分数运算验证：

$$\text{粝饭量} = 23 \times \frac{3}{2} = \frac{69}{2} = 34\frac{1}{2} \text{升} = \frac{69}{2} \text{升}$$

古代表述"三斗四升半"即 $3 \times 10 + 4.5 = 34.5$ 升，与计算结果完全一致。

五、粟米章的背景与中西比较

《九章算术》粟米章的核心是"率"的概念——不同物品之间的兑换比率。粟米章开篇就列出了各种粮食的"率"，比如：

• 粟率五十
• 粝饭率七十五

所以粟与粝饭的换算率就是：

$$\frac{\text{粝饭率}}{\text{粟率}} = \frac{75}{50} = \frac{3}{2}$$

这正是术文"三之，二而一"的数学本质。

这种"率"的思想，与古希腊欧几里得《几何原本》第五卷的比例论（约公元前300年）遥相呼应。不过，《九章算术》更注重算法的实际操作——给出一个具体的、可执行的步骤，而古希腊数学更偏向于抽象的理论证明。

在中国古代，这类粮食换算问题有很强的实用性。官府征收赋税、发放俸禄、调配军粮，都需要在不同品级的粮食之间进行换算。粟米章的246道题，本质上就是一部古代的"粮食换算手册"。

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高中课本关联

知识点：比例与单位换算

这道题直接对应高中数学中的比例运算和复合单位换算。

高考考法举例：

1. 单位换算与比例结合：题目给出复合单位（如2斗3升），要求学生先统一单位，再进行比例运算。这类题目考查的是基本功——能否正确处理"进率"和"运算顺序"。

2. 数学文化题：近年高考常出现以古代数学典籍为背景的题目，要求学生理解古术的含义并用现代方法求解。例如2022年全国卷就出现过以《九章算术》为背景的数学文化题。

3. 算法初步：古术"三之，二而一"本质上是一个算法步骤，与高中"算法初步"模块中的程序框图思想相通。

解题关键：

• 正确进行单位换算：1斗 = 10升
• 理解"三之，二而一"即乘以 $\frac{3}{2}$
• 结果要用题目要求的单位表示

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思考与拓展

1. 如果反过来，已知粝饭3斗4升半，要求原来的粟米量，应该怎么算？请用古术和现代方法分别求解。

提示：粟米量 = 粝饭量 × $\frac{2}{3}$，即"二之，三而一"。

2. 《九章算术》粟米章中，粟与粝米的换算率是"五十之三十二"（即 $\frac{32}{50} = \frac{16}{25}$）。如果有粟5斗，能换多少粝米？

提示：50升 × $\frac{16}{25}$ = 32升 = 3斗2升。

3. 古人为什么用"三之，二而一"这样分两步的表述，而不是直接说"乘以三份之二"？请从算法和实际操作的角度的思考。

提示：分步运算更适合筹算（用算筹摆弄），也更容易在口诀中传诵。

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一句话总结

粟米第7题用一个简洁的"三之，二而一"算法，揭示了粟与粝饭之间 $3:2$ 的兑换率，体现了《九章算术》以"率"为核心、注重算法实用性的特点。