术名：粟米·第6题——一粟化䵂背后的比例密码

原文

今有粟九斗八升，欲为大䵂。问：得几何？

答曰：为大䵂一十斗五升、二十五分升之二十一。

术曰：以粟求大䵂，二十七之，二十五而一。

白话翻译

现有粟米九斗八升，想换成大䵂（一种精细加工的米）。问：能换得多少？

答：能换得大䵂十斗五升又二十五分之二十一升。

折算方法：以粟米量求大䵂量，将粟米数乘以二十七，再除以二十五。

示意图

数学解读

一、现代解法完整过程

第一步：统一单位

题目给出的粟米量为"九斗八升"。按古代容量单位换算：

$$1 \text{ 斗} = 10 \text{ 升}$$

因此：

$$9 \text{ 斗 } 8 \text{ 升} = 9 \times 10 + 8 = 98 \text{ 升}$$

第二步：应用换算比率

根据术文"二十七之，二十五而一"，粟米换算为大䵂的比率是 $\dfrac{27}{25}$。

$$98 \times \frac{27}{25} = \frac{98 \times 27}{25} = \frac{2646}{25}$$

第三步：计算结果

$$\frac{2646}{25} = 105.84 \text{ 升}$$

第四步：还原为古代单位

$$105.84 \text{ 升} = 100 \text{ 升} + 5.84 \text{ 升} = 10 \text{ 斗} 5 \text{ 升} + \frac{21}{25} \text{ 升}$$

即：一十斗五升、二十五分升之二十一，与标准答曰完全一致。

二、古术逐句解释

"以粟求大䵂"——说明这是从粟米出发，求大䵂的数量。"以A求B"是粟米章的标准句式，表示已知A的量，求B的等价值。

"二十七之"——将粟米数乘以27。这里的"之"指代被转换的粟米量。

"二十五而一"——将所得乘积除以25。"而一"是古算固定表述，意为"除以某数得到一（份）"。

合起来就是：

$$\text{大䵂量} = \text{粟米量} \times \frac{27}{25}$$

三、古今对照验证

对比项	古代方法	现代方法
核心运算	二十七之，二十五而一	$98 \times \dfrac{27}{25}$
中间结果	$98 \times 27 = 2646$	$98 \times 27 = 2646$
最终结果	$2646 \div 25 = 105\dfrac{21}{25}$ 升	$\dfrac{2646}{25} = 105.84$ 升
古代表述	一十斗五升、二十五分升之二十一	10斗5升$\dfrac{21}{25}$升

数字完全吻合。

四、比率背后的实际意义

粟米与大䵂的比率 $\dfrac{27}{25}$ 意味着：25升粟米可加工成27升大䵂。

这看似反直觉——加工后体积反而增大？实际上，"大䵂"是经过舂制、脱壳后的米，质地蓬松，同重量下体积大于带壳的粟米。古人通过大量实践，总结出了这个精确的换算比率。

五、中西比较

《九章算术》粟米章（约公元前1世纪成书）系统收录了28种粮食互换比率，是世界上最早的"商品兑换率表"。

相比之下，古埃及《莱因德纸草书》（约公元前1650年）虽也有大量比例问题，但多为单一情境的解题，未形成系统的"比率表"体例。古印度《绳法经》（约公元前800年-前200年）侧重祭坛几何，粮食换算非其重点。

中国古代数学的特色之一，正是将实际生产中的比率关系抽象为可复用的算法模块，粟米章堪称典范。

高中课本关联

知识点：比例运算与算法初步

本题直接对应高中数学人教A版必修的"算法初步"与"比例运算"内容：

1. 算法思想：术文"二十七之，二十五而一"是一个完整的算法步骤——输入粟米量，执行乘法，执行除法，输出结果。这正是现代算法"顺序结构"的雏形。

2. 比例应用：粟米章所有题目本质都是正比例关系 $y = kx$，其中 $k$ 为固定比率。本题 $k = \dfrac{27}{25}$。

3. 高考考法：近年高考数学常以《九章算术》等古代数学题为文化背景，考查算法框图、比例计算或阅读理解能力。例如执行类似"输入x，乘以m，除以n，输出y"的程序框图。

思考与拓展

题目1（基础） 今有粟三斗五升，欲为大䵂。问：得几何？

提示：$35 \times \dfrac{27}{25} = \dfrac{945}{25} = 37.8$ 升 = 3斗7升$\dfrac{4}{5}$升

题目2（逆向） 今有大䵂八斗四升，欲为粟。问：得几何？

提示：这是"返"运算，比率倒过来，$84 \times \dfrac{25}{27} = \dfrac{2100}{27} = 77\dfrac{7}{9}$ 升

题目3（拓展） 若粟米章中"粟率五十，粝率三十"，则粟二斗可换粝米多少？比较本题与这题的比率大小，说明哪个加工过程"出米率"更高。

提示：粝米换算 $20 \times \dfrac{30}{50} = 12$ 升；大䵂比率 $\dfrac{27}{25} = 1.08 > \dfrac{30}{50} = 0.6$，说明大䵂加工损耗更小

一句话总结

粟米章以固定比率实现不同谷物间的精确换算，"二十七之，二十五而一"的简洁术文，正是古人将实践经验升华为算法智慧的生动体现。