粟米·第5题：一斗粟换小䵂——藏在比率里的换算密码

原文

今有粟一斗，欲为小䵂。问：得几何？

答曰：为小䵂二升、一十分升之七。

术曰：以粟求小䵂，二十七之，百而一。

白话翻译

现在有一斗粟（带壳的谷子），想把它换算成小䵂（一种比精米略粗的细米）。问：能得到多少小䵂？

答案是：能得二升又一十分之七升小䵂。

换算方法是：由粟求小䵂，把粟的数量乘以27，再除以100。

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示意图

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数学解读

一、现代解法：从题意到算式

首先统一单位。古代容量单位中，1斗 = 10升，所以"粟一斗"即 10升。

根据术文"以粟求小䵂，二十七之，百而一"，算法是：

$$\text{小䵂量} = \text{粟量} \times \frac{27}{100}$$

代入数据：

$$10 \times \frac{27}{100} = \frac{270}{100} = \frac{27}{10} = 2\frac{7}{10}\text{升}$$

即 二升又一十分之七升，与标准答曰完全吻合。

二、古术逐句讲解

"以粟求小䵂"——指明换算方向：由粟（原料）求小䵂（成品）。粟米章的核心就是各种谷物之间的互换比率，方向不同，比率也不同。

"二十七之"——把粟的数量乘以27。这里的"27"是换算系数，表示每100份粟可出27份小䵂。

"百而一"——再除以100。"百而一"即以100除之，完成最后的归一化。

合起来就是：乘以27，除以100。简洁、精确、可操作。

三、古今对照验证

对比项	古代表述	现代数学
换算比率	"二十七之，百而一"	$\dfrac{27}{100}$
计算过程	$10 \times 27 \div 100$	$10 \times 0.27$
结果表述	"二升、一十分升之七"	$2\dfrac{7}{10}$升 = 2.7升

数字完全一致：$10 \times \dfrac{27}{100} = \dfrac{27}{10} = 2\dfrac{7}{10}$。

四、为什么是27/100？

这个比率不是凭空而来，而是基于实际的粮食加工经验。带壳的谷子（粟）舂成小䵂（较细的米）时要去壳、精磨，损耗很大，十升谷只得二升七合，出米率约 27%。

《九章算术》粟米章共涉及28种谷物互换，每种都有特定的换算率。这些比率构成了一张完整的"谷物兑换表"，相当于古代的"汇率表"。

五、中西比较：当中国已有比率表时

《九章算术》成书于公元前1世纪左右，粟米章已系统使用固定比率进行换算。

同时期的古罗马，虽然也有粮食分配的计算，但多以十二进制或复杂的分数运算为主，缺乏这样系统的比率表传统。

直到中世纪后期，随着商业算术的发展，欧洲才逐渐普及类似的"兑换比率"算法。而中国的"今有术"（即四项比例算法）在《九章算术》中已臻成熟，比印度早约500年，比欧洲系统性的商业算术著作早约1500年。

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高中课本关联

知识点：比例与有理数运算

本题直接对应高中数学必修中的比例运算和有理数除法。

高考考法链接：

1. 数学文化题：近年高考常以《九章算术》为背景出题，考查学生将古代表述转化为现代数学语言的能力。例如："以粟求小䵂，二十七之，百而一"可转化为 $y = \dfrac{27}{100}x$ 的正比例函数。

2. 算法初步：本题的"术"就是一个算法——输入粟量，乘以27，除以100，输出小䵂量。这与高中"算法初步"章节中的程序框图思想完全一致。

3. 实际应用题：可改编为"出米率"问题："某稻谷出米率为27%，现有稻谷10千克，可碾米多少千克？"本质完全相同。

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思考与拓展

题1（基础）： 今有粟五斗，欲为小䵂。问：得几何？

提示：5斗 = 50升，用"二十七之，百而一"计算。

题2（逆向）： 今有小䵂三升，欲还原为粟。问：需粟几何？

提示：已知小䵂求粟，需找到逆比率。若"以粟求小䵂"是乘 $\dfrac{27}{100}$，则"以小䵂求粟"应如何？

题3（拓展）： 《九章算术》粟米章中，"以粟求粺米"的比率是"二十五之，百而一"。现有粟一斗，分别求小䵂和粺米，比较二者多少。这说明了什么？

提示：小䵂率27/100，粺米率25/100。加工越精细，出米率越低。

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一句话总结

"二十七之，百而一"六字，藏着古人用比率解决实际问题的大智慧——把复杂的谷物换算，化为简洁的乘除运算。