术名：粟米·第4题——七斗九升粟，换来多少御米？

原文

今有粟七斗九升，欲为御米。问：得几何？

答曰：为御米三斗三升、五十分升之九。

术曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。

白话翻译

现在有粟七斗九升，想把它换算成御米（精米）。问：能得多少御米？

答： 能得三斗三升又五十分之九升御米。

解题方法： 已知粟求御米，就用粟数乘以21，再除以50。

示意图

数学解读

一、现代解法完整过程

首先统一单位。古代容量单位：1斗 = 10升。

粟七斗九升 = 79升

根据术文"以粟求御米，二十一之，五十而一"，即乘以换算比率 $\dfrac{21}{50}$：

$$79 \times \frac{21}{50} = \frac{79 \times 21}{50} = \frac{1659}{50} = 33\frac{9}{50} \text{（升）}$$

换算回复合单位：

$$33\frac{9}{50} \text{升} = 30 \text{升} + 3\frac{9}{50} \text{升} = 3 \text{斗} 3\frac{9}{50} \text{升}$$

即：三斗三升又五十分之九升，与标准答曰完全一致。

二、古术逐句解释

"以粟求御米"——这是指明问题类型：已知粟量，求御米量。

"二十一之"——用21去乘粟数。这里的21是换算率分子。

"五十而一"——除以50。这里的50是换算率分母。

合起来就是：粟数 × 21 ÷ 50 = 御米数。

这个比率 $\dfrac{21}{50}$ 的含义是：50单位粟可出21单位御米，出米率为42%。

三、古今对照验证

步骤	古代算法	现代算法	数值
单位换算	七斗九升 = 79升	$7 \times 10 + 9 = 79$	79升
核心运算	79 × 21 ÷ 50	$79 \times \frac{21}{50}$	$\frac{1659}{50}$
化为带分数	—	$\frac{1659}{50} = 33\frac{9}{50}$	$33\frac{9}{50}$升
单位还原	三斗三升五十分升之九	$33\frac{9}{50} = 3\times10 + 3\frac{9}{50}$	3斗$3\frac{9}{50}$升

计算结果完全吻合。

四、背景与中西比较

《粟米章》共46题，核心就是各种粮食之间的换算比率。这些比率由官方测定，是税收、贸易、俸禄发放的基础数据。

本题涉及的"粟"是未脱壳的谷子，"御米"是精加工的米。从粟到御米需要舂米、脱壳、筛选，损耗很大。50份粟只得21份御米，出米率42%，这与现代谷子出米率（约70-80%）相比偏低，可能与古代加工精度要求更高、或"御米"标准更严有关。

中西比较： 古埃及《莱因德纸草书》（约公元前1650年）也有大量粮食换算题，但多以"赫卡特"为单位，用"赫卡特的几分之一"（埃及分数）表示结果。巴比伦泥板（公元前1800年左右）则用60进制处理类似问题。相比之下，《九章算术》的十进制换算体系更为简洁，分数运算也更加成熟。

高中课本关联

本题直接对应高中数学多个知识点：

1. 算法与程序框图（必修3）

• 本题是一个典型的"顺序结构"算法：输入→乘以21→除以50→输出
• 可设计为：输入粟量 $x$，输出 $y = \dfrac{21x}{50}$

2. 比例与比率（贯穿高中）

• 核心是正比例关系：$\dfrac{\text{御米}}{\text{粟}} = \dfrac{21}{50}$
• 可延伸为反比例问题：若需御米 $A$ 升，需粟 $\dfrac{50A}{21}$ 升

3. 中国古代数学文化（新课标渗透）

• 高考数学近年多次出现数学文化题，如2019年全国卷考查"祖暅原理"，2021年考查"《九章算术》堑堵"
• 本题可作为"古代比例算法"的典型素材

典型考法示例：

《九章算术》记载粟与御米换算率为21:50。今有粟3斗5升，可得御米多少升？ 解：$35 \times \frac{21}{50} = \frac{735}{50} = 14.7$（升）

思考与拓展

第1题（基础） 今有粟二斗五升，欲为御米。问得几何？

提示：直接套用公式 $25 \times \frac{21}{50} = \frac{525}{50} = 10.5$（升）= 一斗半升

第2题（逆向） 今有御米一斗八升，欲为粟。问得几何？

提示：已知御米求粟，用逆运算 $18 \times \frac{50}{21} = \frac{900}{21} = 42\frac{18}{21} = 42\frac{6}{7}$（升）= 四斗二升七分升之六

第3题（综合） 《粟米章》载各种换算率：粟率五十，粝米率三十，御米率二十一。今有粟一石（10斗），分别求粝米、御米各几何？二者相差多少？

提示：

• 粝米：$100 \times \frac{30}{50} = 60$（升）= 六斗
• 御米：$100 \times \frac{21}{50} = 42$（升）= 四斗二升
• 相差：$60 - 42 = 18$（升）= 一斗八升

一句话总结

《粟米章》第4题以"粟换御米"为载体，展示了中国古代成熟的比率算法——"以a求b，m之，n而一"，即乘以比率 $\dfrac{m}{n}$，这正是现代正比例运算的古代原型。