粟米·第1题：一斗粟舂出多少粝米？——《九章算术》比例算法的开门第一题

原文

今有粟一斗，欲为粝米。问：得几何？

答曰：为粝米六升。

术曰：以粟求粝米，三之，五而一。

白话翻译

现在有一斗粟（带壳的谷子），想把它舂成粝米（去壳后的粗米）。问：能得到多少粝米？

答：能得到粝米六升。

算法：用粟的数量求粝米的数量，先乘以三，再除以五。

示意图

数学解读

现代解法

首先统一单位。中国古代容量单位中，十进制关系明确：

$$1 \text{斗} = 10 \text{升}$$

因此"粟一斗"即粟 $10$ 升。

"以粟求粝米，三之，五而一"揭示的核心关系是：粟与粝米的比率为 $5:3$。也就是说，每 $5$ 份粟可以舂出 $3$ 份粝米。用现代数学语言表达：

$$\text{粝米} = \text{粟} \times \frac{3}{5}$$

代入数据：

$$\text{粝米} = 10 \times \frac{3}{5} = \frac{30}{5} = 6 \text{（升）}$$

结果与答曰"为粝米六升"完全一致。

古术逐句解释

「以粟求粝米」——"以……求……"是《九章算术》粟米章的标准句式，意思是"已知前者（粟），求后者（粝米）"。这相当于现代数学中"已知自变量求因变量"的函数思维。

「三之」——"之"指代前面的粟的数量，"三之"即"以三乘之"，把粟的数量乘以 $3$。为什么要乘以 $3$？因为粟米率中粝米占粟的 $3$ 份。

「五而一」——这是古代除法的表达方式。"五而一"即"以五除之"（五份中取其一的累积），也就是除以 $5$。为什么要除以 $5$？因为粟的总量是 $5$ 份，需要把 $5$ 份粟对应的 $3$ 份粝米"归一"到实际的数量。

用算式完整表达古术：

$$\text{粝米} = 10 \times 3 \div 5 = 6 \text{（升）} \qquad (1)$$

古今对照验证

将古术运算逐步展开，与现代分数运算对照：

步骤	古术表述	现代算式
第一步	三之	$10 \times 3 = 30$
第二步	五而一	$30 \div 5 = 6$

古术"先乘后除"的顺序，与现代数学中 $10 \times \frac{3}{5}$ 的计算路径完全一致。古人没有分数符号，却用"三之，五而一"六个字精确描述了 $\frac{3}{5}$ 这个比率运算，堪称算法语言的高度凝练。

背景：粟、粝米与出米率

粟是谷子带壳的形态，舂去外壳后得到粝米（也称"粗米"，未经精磨）。从 $5$ 份粟出 $3$ 份粝米可知，出米率为 $60\%$。

这个比率是古代农业生产的经验常数。《九章算术》粟米章开篇就建立了"粟率五十，粝米三十"的比率表（即 $50:30 = 5:3$），所有换算都以此率为基础。刘徽在注中详细解释了各种米之间的比率关系，构建了一个完整的谷物换算体系。

从实际角度看，$60\%$ 的出米率符合古代舂米工艺的水平——去壳损耗约四成，包括谷壳、碎米和加工损耗。

中西比较

谷物加工换算是古代文明的共同问题。古埃及中王国时期（约公元前2000—前1800年）的《莱因德纸草书》中就有大量谷物分配与换算问题，其核心方法同样是建立固定比率后按比例计算。古罗马的度量衡体系中，谷物（如小麦）的体积与重量换算也有官方标准。

不同之处在于：《九章算术》将这类问题算法化、公式化——不是逐题给出具体数字答案，而是提炼出"以粟求粝米，三之，五而一"的通用程序。这种"术"的抽象层次，使得同一算法可以处理任意数量的粟米换算，体现了中国古代数学"以率统量"的独特传统。

高中课本关联

1. 比例与分数运算（必修第一册·函数概念）

本题本质是正比例关系的应用：粝米量 = 粟量 × 出米率。这与高中函数 $y = kx$（$k$ 为常数）的结构完全一致，其中 $k = \frac{3}{5}$ 就是"粟米率"。

2. 单位换算（必修第一册·集合与常用逻辑用语）

斗、升的十进制换算，与现代单位制（如米与厘米）的换算逻辑相同，是数学建模中"统一量纲"的基础训练。

3. 数学建模（必修第一册·数学建模活动）

从"一斗粟出多少粝米"到建立 $y = \frac{3}{5}x$ 的函数模型，再到用古术"三之，五而一"求解，完整呈现了"实际问题→数学关系→算法求解→验证答案"的建模流程。

高考考法：此类问题近年较少直接出现在高考中，但比例运算、单位换算、函数建模的思想贯穿于概率统计、数列、导数等板块的应用题中。理解古术"以率统量"的思想，有助于快速识别应用题中的比例结构。

思考与拓展

练习一：若粟 $2$ 斗，欲为粝米，得几何？

提示：$2$ 斗 $= 20$ 升，用古术"三之，五而一"计算。

练习二（逆问题）：若要得粝米 $18$ 升，问需粟几何？

提示：已知粝米求粟，需要"以粝米求粟"——古术为"五之，三而一"（即乘以 $5$ 再除以 $3$）。

练习三（拓展）：若粝米再舂为精米（假设粝米 : 精米 $= 10:7$），问 $1$ 斗粟最终可得精米多少升？

提示：这是连续比例问题，先粟→粝米（$\times \frac{3}{5}$），再粝米→精米（$\times \frac{7}{10}$），综合比率为 $\frac{3}{5} \times \frac{7}{10} = \frac{21}{50}$。

一句话总结

《九章算术》粟米章开门第一题，以"三之，五而一"六个字，将 $5:3$ 的粟米比率凝练为通用算法——这正是中国古代数学"以率统量"思想的源头，也是比例运算最朴素而深刻的表达。