术名：粟米·第2题——一斗之粟，几何粺米？

原文

今有粟二斗一升，欲为粺米。问：得几何？

答曰：为粺米一斗一升、五十分升之十七。

术曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。

白话翻译

现有粟（带壳谷物）二斗一升，想把它碾成粺米（一种精米），问能得到多少粺米？

答案是：粺米一斗一升又五十分之十七升。

计算法则是：由粟求粺米，先把粟的量乘以27，再除以50。

示意图

数学解读

一、现代解法：从单位换算到分数运算

这道题的本质是单位换算，涉及古代容量单位与比例运算。

第一步：统一单位

古代容量单位换算：$1\text{斗} = 10\text{升}$

所以"粟二斗一升"换算成升：

$$2\text{斗}1\text{升} = 2 \times 10 + 1 = 21\text{升}$$

第二步：理解换算比例

术文"二十七之，五十而一"给出了换算公式：

$$\text{粺米量} = \text{粟量} \times \frac{27}{50}$$

这意味着：50升粟 → 27升粺米，出米率是 $\frac{27}{50} = 54\%$。

第三步：代入计算

$$\text{粺米量} = 21 \times \frac{27}{50} = \frac{567}{50}\text{升}$$

第四步：化成带分数

$$\frac{567}{50} = 11\frac{17}{50}\text{升}$$

第五步：还原成古代单位

$$11\frac{17}{50}\text{升} = 1\text{斗}1\text{升}\frac{17}{50}\text{升}$$

即：粺米一斗一升又五十分之十七升，与原文答曰完全一致。

二、古术详解："二十七之，五十而一"

术文只有八个字，却完整给出了算法：

• "二十七之"：把粟的数量乘以27
• "五十而一"：把所得结果除以50

用现代数学语言表示：

$$\text{粺米} = \frac{\text{粟} \times 27}{50}$$

这与"粟率五十，粺米二十七"的换算率完全对应。粟米章开篇就给出了各种粮食的"率"（比率），粟与粺米的比率正是 $50:27$。

三、古今对照：算法的等价性

对比项	古代算法	现代算法
核心操作	先乘27，再除以50	乘以分数 $\frac{27}{50}$
数学本质	比例运算	分数乘法
计算顺序	先乘后除（整数运算）	可直接分数运算
结果表达	带分数+古代单位	小数或分数

古人的方法虽然是"先乘后除"两步走，但与现代的"乘以分数"在数学上完全等价：

$$21 \times 27 \div 50 = 21 \times \frac{27}{50}$$

这种"分离式"算法的好处是：每一步都是整数运算，便于用算筹操作。

四、为什么是"27"和"50"？——古代粮食加工的标准化

《九章算术》粟米章开篇就列出了各种粮食的换算"率"：

• 粟率五十：以粟为基准，率定为50
• 粺米二十七：粺米的率是27
• 粝米三十：粝米（粗米）的率是30
• 粺饭五十四：粺米煮成饭，率是54

这些"率"反映了古代对粮食加工损耗的经验总结。粟的出粺率是 $\frac{27}{50} = 54\%$，即100升粟可得54升粺米，出米率相当高，说明粺米是较为精细的米。

历史背景：秦汉时期，官府收税、发放俸禄、军粮调配都涉及大量粮食换算。统一"率"的标准，便于全国范围的核算。这与现代货币汇率、度量衡换算的思想如出一辙。

五、中西比较：古代世界的比例术

古埃及（约公元前1650年，《莱因德纸草书》）： 古埃及人也处理粮食换算，但多用单位分数（分子为1的分数）表示，计算更为繁琐。例如他们会把 $\frac{2}{50}$ 写成 $\frac{1}{25}$，但遇到复杂比例时远不如《九章算术》的"率"概念清晰。

古巴比伦（约公元前1800年）： 巴比伦人使用六十进制，在处理比例时也有自己的方法，但他们的算法多记录在泥板上，不如《九章算术》这样形成系统的"术文"体系。

《九章算术》的优势：

• 明确提出"率"的概念，形成统一的比例体系
• 算法步骤化，"术曰"可指导一类问题的求解
• 整数运算与分数表达结合，兼顾计算便利与结果精确

高中课本关联

知识点对接

1. 分数的四则运算（人教A版必修第一册）

   • 本题涉及分数乘法：$21 \times \frac{27}{50}$
   • 带分数与假分数的互化：$\frac{567}{50} = 11\frac{17}{50}$

2. 比例与比率（初中延伸）

   • 正比例关系：$y = kx$，其中 $k = \frac{27}{50}$
   • 本题是正比例函数的实际应用

3. 算法的含义（人教A版必修三·算法初步）

   • "术曰"本质上是一个算法：输入粟量，按步骤计算，输出粺米量
   • 体现了算法的确定性、有限性、可行性

高考考法

这类问题在高考中常以数学文化题的形式出现，考查：

• 阅读理解古代数学文献的能力
• 将实际问题转化为数学模型的素养
• 分数、比例、单位换算的基本运算

典型考法：给出《九章算术》原文，要求用现代方法求解，或判断古术与现代算法的等价性。

思考与拓展

题目1：逆向问题 今有粺米一斗一升、五十分升之十七，欲为粟。问：得几何？

提示："以粺米求粟，五十之，二十七之"——乘以50，除以27

题目2：连续换算 今有粟三斗五升，欲为粺米；粺米又欲为粺饭。问：得粺饭几何？

提示：先粟→粺米（率27/50），再粺米→粺饭（率54/27=2）

题目3：出米率问题 若某地粟的出粺率为 $52\%$（即 $\frac{26}{50}$），今有粟5斗，可得粺米多少？与原题比较，说明古今出米率的差异。

一句话总结

"二十七之，五十而一"——八个字浓缩了古代粮食换算的智慧，将比例运算化为可操作的整数步骤，是《九章算术》"术文"体系的典范。