圆田术：从周三径一到祖率——圆面积公式的千年演进

原文

今有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。问为田几何？

答曰：十一亩九十步十二分步之一。

圆田术曰：半周半径相乘得积步。又术曰：周自相乘，十二而一。又术曰：径自乘，三之，四而一。

白话翻译

一块圆形田地，周长181步，直径60又1/3步。问这块田的面积是多少？

答：11亩90又1/12平方步。

圆田算法：第一种算法——半周长乘以半径，得到面积的步数。第二种算法——周长自乘，除以12。第三种算法——直径自乘，乘以3，再除以4。

示意图

数学解读

一、题中数据的"自洽性"

题目给出周 $C = 181$ 步，径 $d = 60\frac{1}{3} = \frac{181}{3}$ 步。

我们验证一下周径之比：

$$\frac{C}{d} = \frac{181}{\frac{181}{3}} = 3$$

这正是"周三径一"的古率——周长恰好等于直径的3倍。题目数据是精心设计的，完全吻合古法取 $\pi \approx 3$ 的前提。

二、三种术文的现代推导

术一：半周半径相乘

$$S = \frac{C}{2} \cdot r = \frac{C}{2} \cdot \frac{d}{2} = \frac{Cd}{4}$$

代入 $C = 181$，$d = \frac{181}{3}$：

$$S = \frac{181 \times \frac{181}{3}}{4} = \frac{181^2}{12} = \frac{32761}{12}$$

术二：周自乘，十二而一

$$S = \frac{C^2}{12} = \frac{181^2}{12} = \frac{32761}{12}$$

术三：径自乘，三之，四而一

$$S = \frac{3d^2}{4} = \frac{3 \times \left(\frac{181}{3}\right)^2}{4} = \frac{3 \times \frac{32761}{9}}{4} = \frac{32761}{12}$$

三种算法殊途同归，结果完全相同。

三、完整计算过程

$$\frac{32761}{12} = 2730\frac{1}{12} \text{ 平方步}$$

换算成亩（1亩 = 240平方步）：

$$2730\frac{1}{12} = 2640 + 90\frac{1}{12} = 11 \times 240 + 90\frac{1}{12}$$

即 11亩 $90\frac{1}{12}$ 平方步，与标准答案完全一致。

四、三种算法为何等价？

关键在于古率 $\pi = 3$。现代圆面积公式为：

$$S = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{C^2}{4\pi}$$

当 $\pi = 3$ 时：

• 术一：$\frac{Cd}{4} = \frac{C \cdot C/3}{4} = \frac{C^2}{12}$ ✓
• 术二：$\frac{C^2}{12}$ ✓
• 术三：$\frac{3d^2}{4} = \frac{3 \cdot (C/3)^2}{4} = \frac{C^2}{12}$ ✓

三种算法在 $\pi = 3$ 的框架下完全等价。若 $\pi$ 取更精确值，三者将给出不同结果——这正是刘徽注要解决的问题。

五、刘徽的突破：割圆术与徽率

刘徽在注中指出，古率 $\pi = 3$ 实际上是圆内接正六边形与直径之比（"六觚之率"），而非真正的圆周率。他从正六边形开始，不断倍增边数，用割圆术计算圆周率。

刘徽最终求得：

$$\pi \approx \frac{157}{50} = 3.14$$

这就是著名的"徽率"。用徽率重新计算本题：

$$S = \frac{C^2}{4\pi} = \frac{32761}{4 \times \frac{157}{50}} = \frac{32761 \times 50}{628} = \frac{1638050}{628} \approx 2608.36 \text{ 平方步}$$

与古率结果 $2730\frac{1}{12} \approx 2730.08$ 相比，徽率结果小了约4.5%，更接近真实值。

六、李淳风补注：祖冲之密率

唐代李淳风在注释《九章算术》时，补入了祖冲之的成果：

$$\pi \approx \frac{355}{113} \approx 3.1415929$$

这一密率精确到小数点后6位，在世界上领先了近千年。用密率计算：

$$S = \frac{32761}{4 \times \frac{355}{113}} = \frac{32761 \times 113}{1420} = \frac{3701993}{1420} \approx 2607.04 \text{ 平方步}$$

中西比较：祖冲之（429-500年）给出密率时，欧洲直到16世纪才由奥托（1573年）重新发现 $\frac{355}{113}$。

高中课本关联

知识点1：圆的面积公式

高中数学必修第二册（人教A版）给出 $S = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$。本题三种术文正是该公式在 $\pi = 3$ 时的特殊形式。

知识点2：古代数学中的"率"思想

《九章算术》以"率"为核心概念，本题中"周三径一"即周与径之比为3:1。这与高中数学中的比例、函数思想一脉相承。

高考考法：近年高考数学常以数学文化为背景命题，如2019年全国卷考查《海岛算经》，2021年卷涉及《九章算术》中的"堑堵"。圆田术作为经典案例，可能以选择题或填空题形式出现，考查对古代算法的理解与换算。

思考与拓展

问题1：若取徽率 $\pi = \frac{157}{50}$，用"半周半径相乘"术计算本题面积，结果是多少平方步？（答案用分数表示）

问题2：证明在 $\pi = 3$ 的前提下，"周自乘十二而一"与"径自乘三之四而一"等价。若 $\pi \neq 3$，两者结果相差多少？

问题3：刘徽割圆术中，从正六边形开始，每次边数倍增。设正 $n$ 边形边长为 $a_n$，圆半径为 $r$，推导从 $a_n$ 到 $a_{2n}$ 的递推关系，并说明如何用此计算圆周率。

一句话总结

圆田术以三种等价形式给出圆面积算法，核心是古率 $\pi \approx 3$；刘徽以割圆术求得徽率 $\frac{157}{50}$，李淳风补入祖冲之密率 $\frac{355}{113}$，中国数学家对圆周率的追求贯穿千年，领先世界。