箕田术：等腰梯形的面积公式——古人如何丈量簸箕形的田

原文

今有箕田，舌广一十一步四分步之一，踵广五步三分步之二，正从二十步七分步之六。问为田几何？

答曰：一百七十六步十二分步之五。

箕田术曰：并踵舌而半之，以乘正从。

白话翻译

今有一块簸箕形的田地，长边（舌）宽 $11\frac{1}{4}$ 步，短边（踵）宽 $5\frac{2}{3}$ 步，高（正从）$20\frac{6}{7}$ 步。问这块田的面积是多少？

答：$176\frac{5}{12}$ 平方步。

算法：箕田术说：将踵广与舌广相加后取一半，再乘以正从（高）。

示意图

数学解读

一、现代解法完整过程

将带分数化为假分数：

舌广（下底）：$11\frac{1}{4} = \dfrac{45}{4}$

踵广（上底）：$5\frac{2}{3} = \dfrac{17}{3}$

正从（高）：$20\frac{6}{7} = \dfrac{146}{7}$

等腰梯形面积公式：

$$S = \frac{1}{2} \times (\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高}$$

代入计算：

$$S = \frac{1}{2} \times \left(\frac{45}{4} + \frac{17}{3}\right) \times \frac{146}{7}$$

先算括号内的和，通分（公分母为12）：

$$\frac{45}{4} + \frac{17}{3} = \frac{135}{12} + \frac{68}{12} = \frac{203}{12}$$

继续计算：

$$S = \frac{1}{2} \times \frac{203}{12} \times \frac{146}{7} = \frac{203 \times 146}{2 \times 12 \times 7} = \frac{29638}{168}$$

约分（分子分母同除以14）：

$$\frac{29638}{168} = \frac{2117}{12}$$

化为带分数：

$$\frac{2117}{12} = 176\frac{5}{12}$$

答：面积为 $176\frac{5}{12}$ 平方步，即"一百七十六步十二分步之五"。

二、古术逐句解释

"并踵舌而半之"——将踵广与舌广相加，然后取一半。

"并"即相加，"踵"指短边（上底），"舌"指长边（下底），"半之"即取平均值。这正是求梯形两底的平均长度。

"以乘正从"——用所得之数乘以正从（高）。

"正从"即梯形的高，垂直于两底。将平均底长乘以高，即得面积。

三、古今对照验证

对比项	古代表述	现代数学
箕田	簸箕形田地	等腰梯形
舌广	长边（下底）	$a = \frac{45}{4}$
踵广	短边（上底）	$b = \frac{17}{3}$
正从	高	$h = \frac{146}{7}$
术文	并踵舌而半之，以乘正从	$S = \frac{a+b}{2} \times h$
答案	一百七十六步十二分步之五	$176\frac{5}{12}$

古今算法完全一致，答案完全吻合。

四、背景与中西比较

箕田与邪田的关系：方田章中，邪田（直角梯形）与箕田（等腰梯形）的算法相同——"并两底而半之，以乘高"。古人已认识到：无论梯形是直角还是等腰，面积公式通用。这体现了对数学本质的深刻把握。

命名智慧：古人以"箕"（簸箕）命名等腰梯形，以"邪"（斜）命名直角梯形，按形状分类命术，便于实际应用时快速检索。

中西比较：

• 《九章算术》成书于公元1世纪左右，已完整掌握梯形面积公式。
• 古埃及《莱因德纸草书》（约公元前1650年）中有梯形面积计算，但多为具体数值题，未提炼出一般公式。
• 古希腊欧几里得《几何原本》（约公元前300年）用几何证明给出梯形面积，但未以术文形式给出算法口诀。

中国古算的特点是算法化、程序化——将数学方法提炼为可操作的步骤，便于实际丈量计算。

高中课本关联

知识点：人教A版必修第二册"立体几何初步"前的平面几何基础，以及初中"梯形的面积"。

高考考法：

1. 数学文化题：以《九章算术》原文为素材，考查学生阅读理解和数学建模能力。如2019年全国卷曾考查古代数学典籍中的算法。

2. 公式应用：梯形面积公式 $S = \frac{1}{2}(a+b)h$ 是基本公式，常与解三角形、向量等知识综合考查。

3. 数学史背景：了解"箕田""邪田"等古代术语，有助于在考场上快速理解题意。

关键公式：

$$S_{\text{梯形}} = \frac{\text{上底} + \text{下底}}{2} \times \text{高}$$

思考与拓展

题目1：有一箕田，舌广 $8\frac{1}{2}$ 步，踵广 $4\frac{1}{3}$ 步，正从 $6$ 步。求面积。

提示：$S = \frac{1}{2} \times \left(\frac{17}{2} + \frac{13}{3}\right) \times 6 = \frac{1}{2} \times \frac{89}{6} \times 6 = \frac{89}{2} = 44\frac{1}{2}$ 平方步。

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题目2：证明：对于任意梯形（无论直角或等腰），面积都等于两底和之半乘高。

**提示****：将梯形沿对角线分为两个三角形，两三角形同高，面积分别为 $\frac{1}{2}ah$ 和 $\frac{1}{2}bh$，相加即得。

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题目3：《九章算术》中"舌"和"踵"分别指等腰梯形的哪条边？为什么用这两个字命名？

提示："舌"指伸出的长边（下底），如簸箕的前端；"踵"指靠后的短边（上底），如簸箕的跟部。古人取象于日常器物，形象生动。

一句话总结

箕田术以"并踵舌而半之，以乘正从"十字口诀，完整呈现等腰梯形面积算法，与邪田术一脉相承，体现古人按形状分类命术、以算法程序化解决实际问题的数学智慧。