宛田术：一块曲面田的面积该怎么算？

原文

今有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？

答曰：五亩六十二步四分步之一。

宛田术曰：以径乘周，四而一。

白话翻译

现在有一块宛田（中央隆起呈曲面形状的田地），它的下口周长是九十九步，直径是五十一步。问这块田的面积是多少？

答：五亩又六十二又四分之一平方步。

宛田术的计算方法：用直径乘以周长，再除以四。

示意图

数学解读

古术算法逐句拆解

术文"以径乘周，四而一"给出宛田面积公式：

$$S = \frac{\text{径} \times \text{周}}{4}$$

代入题目数据：

$$S = \frac{51 \times 99}{4} = \frac{5049}{4} = 1262\frac{1}{4} \text{ 平方步}$$

单位换算核验

按《九章算术》方田章的换算：一亩 = 240 平方步。

$$1262\frac{1}{4} \div 240 = 5 \text{ 亩} \cdots 62\frac{1}{4} \text{ 平方步}$$

与原文"五亩六十二步四分步之一"完全吻合。

公式来源：从圆田到宛田

这个公式不是凭空创造的。回顾方田章前面的圆田术：

$$\text{圆田面积} = \frac{\text{周} \times \text{径}}{4}$$

这正是我们熟悉的 $\pi r^2$ 的等价写法，因为 $C = 2\pi r$、$d = 2r$，所以：

$$\frac{C \times d}{4} = \frac{2\pi r \times 2r}{4} = \pi r^2$$

古人借用圆田公式来处理宛田，把曲面田"当作"某种平面图形来近似计算。

刘徽注：指出近似性的先驱

刘徽在注中明确指出：宛田术不精确。

他认识到，宛田是球冠形曲面，其真实面积应该用球冠表面积公式计算。刘徽虽然没有给出完整的正确公式，但他对"近似"与"精确"的区分，体现了严谨的数学态度。

从现代几何看，球冠（球面被平面截得的部分）的表面积公式为：

$$S_{\text{球冠}} = 2\pi R h$$

其中 $R$ 是球半径，$h$ 是球冠高度。

古今对照：近似值与精确值

本题中，底面圆半径 $a = \frac{51}{2} = 25.5$ 步，底面周长 $c = 99$ 步。

若假设这是球冠，由几何关系 $a^2 = h(2R - h)$，还需知道 $R$ 或 $h$ 才能精确计算。

古人用一个简洁的近似公式给出答案，在实际田亩测量中误差可以接受；但从数学严格性看，刘徽的批评是中肯的。

中西比较

在西方，阿基米德（约公元前287—前212年）在《论球与圆柱》中严格证明了球冠面积公式 $S = 2\pi Rh$，比刘徽（约公元263年注《九章》）早约五个世纪。不过，阿基米德的证明运用了穷竭法，理论深度更高；而《九章算术》更侧重实用算法，两者各有特色。

高中课本关联

知识点对接：

1. 球的表面积（人教A版必修第二章）：球冠面积是球面积公式的特例，$S_{\text{球冠}} = 2\pi Rh$，其中 $h$ 为球冠高。

2. 近似计算与数学文化：高考数学文化题常以《九章算术》为背景，考查对古代算法的理解与转换。例如给出"宛田术"公式，要求用现代符号表示并计算。

3. 阅读理解题型：这类题的关键是提取术文中的运算关系，转化为代数表达式。

典型考法示例：

《九章算术》中有"宛田术曰：以径乘周，四而一"。现有一宛田，下周12步，径8步，则其面积为____平方步。

解析：$S = \frac{8 \times 12}{4} = 24$ 平方步。

思考与拓展

思考题 1：假设本题中的宛田恰好是半球形（即球冠高等于球半径），试用球冠面积公式 $S = 2\pi Rh$ 计算精确面积，并与古术结果比较。（取 $\pi \approx \frac{22}{7}$，球半径 $R = 25.5$ 步）

提示：半球时 $h = R = 25.5$，$S_{\text{半球}} = 2\pi R^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 25.5^2$。

思考题 2：当球冠很浅（$h$ 远小于 $R$）时，证明球冠面积近似等于底面圆面积 $\pi a^2$，并说明此时宛田术与精确值的差异趋势。

提示：当 $h \to 0$ 时，$R \to \infty$ 且 $2Rh \approx a^2$，故 $S \approx 2\pi Rh \approx \pi a^2$。

思考题 3：刘徽批评宛田术"不精确"，但他本人也未能给出正确公式。你认为古人要推导出球冠面积公式，还需要哪些数学工具？

提示：考虑积分思想、极限概念、曲面展开等。

一句话总结

宛田术以"径乘周四而一"近似计算曲面田面积，本质是借用圆田公式处理球冠问题——简洁实用但不够精确，刘徽的批评体现了古人追求数学严格性的自觉。