等比数列与分段数列求和

第(1)问

等比数列 $\{a_n\}$，$a_1=1$，$S_2=a_3-1$。

$a_1+a_2=a_3-1$，即 $1+q=q^2-1$，$q^2-q-2=0$，$(q-2)(q+1)=0$。

$q>0$，故 $q=2$。$a_n=2^{n-1}$，$S_n=\dfrac{1\cdot(2^n-1)}{2-1}=2^n-1$。

第(2)问

$a_n=2^{n-1}$。$b_n$ 定义：$n=a_k$ 时 $b_n=k$；$a_k<n<a_{k+1}$ 时 $b_n=b_{n-1}+2k$；$b_1=1$。

$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=4$，$a_4=8$，$\dots$

$b_1=1$（$n=1=a_1$，$k=1$）。$n=2=a_2$，$k=2$，$b_2=2$。

$n=3$（$a_2<3<a_3$，$k=2$），$b_3=b_2+2\times 2=2+4=6$。

$n=4=a_3$，$k=3$，$b_4=3$。

$n=5,6,7$（$a_3<n<a_4$，$k=3$）：$b_5=9$，$b_6=15$，$b_7=21$。

$n=8=a_4$，$k=4$，$b_8=4$。

先证 $b_{a_{k+1}-1}\geq a_k\cdot b_{a_{k+1}}$，即 $b_{2^k-1}\geq 2^{k-1}\cdot b_{2^k}$。

$b_{2^k}=k$（$n=2^k=a_{k+1}$）。在区间 $[2^{k-1}, 2^k-1]$ 中，$b_n$ 从 $b_{2^{k-1}}=k$ 开始，之后每项加 $2k$，共 $2^{k-1}-1$ 次递增。

$b_{2^k-1}=k+(2^{k-1}-1)\cdot 2k=k+2k(2^{k-1}-1)=k(1+2^k-2)=k(2^k-1)$。

验证：$k=2$：$b_3=6$，$2\times 3=6$。$k=3$：$b_7=21$，$3\times 7=21$。

$b_{2^k-1}=k(2^k-1)\geq 2^{k-1}\cdot k$ 当且仅当 $2^k-1\geq 2^{k-1}$，即 $2^{k-1}\geq 1$，恒成立。

求 $\sum_{i=1}^{S_k}b_i=\sum_{i=1}^{2^k-1}b_i$。

分区间 $[2^{j-1}, 2^j-1]$（$j=1,\dots,k$）求和。区间共 $2^{j-1}$ 项，首项 $b_{2^{j-1}}=j$，公差 $2j$。

区间和 $=\sum_{i=0}^{2^{j-1}-1}(j+2ji)=2^{j-1}\cdot j+2j\cdot\dfrac{(2^{j-1}-1)\cdot 2^{j-1}}{2}=2^{j-1}\cdot j\cdot 2^{j-1}=j\cdot 4^{j-1}$

验证：$j=1$：$b_1=1$，$1\cdot 1=1$。$j=2$：$b_2+b_3=8$，$2\cdot 4=8$。$j=3$：$b_4+\cdots+b_7=48$，$3\cdot 16=48$。

$\sum_{i=1}^{S_k}b_i=\sum_{j=1}^{k}j\cdot 4^{j-1}$

设 $T=\sum_{j=1}^{k}j\cdot 4^{j-1}$，$4T=\sum_{j=1}^{k}j\cdot 4^j=\sum_{j=2}^{k+1}(j-1)\cdot 4^{j-1}$

$3T=4T-T=(k\cdot 4^k)-\sum_{j=1}^{k}4^{j-1}=k\cdot 4^k-\dfrac{4^k-1}{3}=\dfrac{3k\cdot 4^k-4^k+1}{3}=\dfrac{(3k-1)4^k+1}{3}$

$T=\dfrac{(3k-1)\cdot 4^k+1}{9}$

答案

(1) $S_n=2^n-1$。

(2) $b_{a_{k+1}-1}=k(2^k-1)\geq 2^{k-1}\cdot k=a_k\cdot b_{a_{k+1}}$，不等式得证。$\sum_{i=1}^{S_k}b_i=\dfrac{(3k-1)\cdot 4^k+1}{9}$。