摸球停球概率与马尔可夫链递推

$(1)$ 盒子里有 $2$ 红、$6$ 黑，不放回依次取球，某色取完时停止。

停止时盒里剩 $4$ 个黑球：说明共取走 $8-4=4$ 个球，其中 $2$ 红全部取出、$2$ 黑取出。

从 $8$ 球中任选 $4$ 个，含 $2$ 红 $2$ 黑的方式数：$\mathrm{C}_{2}^{2}\mathrm{C}_{6}^{2} = 1 \times 15 = 15$。

总数 $\mathrm{C}_{8}^{4} = 70$。

$P(A) = \dfrac{15}{70} = \dfrac{3}{14}$。

$(2)$ 设 $X$ 为停止时的总摸球次数。$X$ 的可能取值：红球先取完最少需 $2$ 次，但此时黑球至少取 $1$ 次共 $3$ 次；黑球先取完最少需 $6$ 次，但红球至少 $1$ 次共 $7$ 次；最大次数为取走 $7$ 球时必有一色取完（剩 $1$ 球）。故 $X \in \{3, 4, 5, 6, 7\}$。

$P(X=3)$：前 $3$ 次红球全部取出（$2$ 红 $1$ 黑）：$\dfrac{\mathrm{C}_{2}^{2}\mathrm{C}_{6}^{1}}{\mathrm{C}_{8}^{3}} = \dfrac{6}{56} = \dfrac{3}{28}$。

$P(X=4)$：$4$ 次内某色全取完，红先完（$4$ 次含 $2$ 红 $2$ 黑且前 $3$ 次红未取完）：

红先完且共 $4$ 次：前 $4$ 次含 $2$ 红 $2$ 黑，方式 $\mathrm{C}_{4}^{2}=6$（从 $6$ 黑中选 $2$ 个位置），总选法 $\mathrm{C}_{8}^{4}=70$，$P(P(X=4 )) = \dfrac{15}{70} - \dfrac{6}{56} = \dfrac{3}{14} - \dfrac{3}{28} = \dfrac{3}{28}$。

黑先完在 $X=4$：需 $4$ 次含 $4$ 黑 $0$ 红，但红球未被取完（还需再取），不可能（红球还有 $2$ 个未动）。故黑先完不可在 $X=4$。

$P(X=4) = \dfrac{3}{28}$。

$P(X=5)$：$5$ 次中红先取完（$2$ 红 $3$ 黑，且前 $4$ 次红未取完）：

$\dfrac{\mathrm{C}_{2}^{2}\mathrm{C}_{6}^{3}}{\mathrm{C}_{8}^{5}} - P(X=3) - P(X=4 ) = \dfrac{20}{56} - \dfrac{3}{28} - \dfrac{3}{28} = \dfrac{5}{14} - \dfrac{6}{28} = \dfrac{5}{14} - \dfrac{3}{14} = \dfrac{1}{7}$。

黑先完在 $X=5$：$5$ 次含 $5$ 黑 $0$ 红，不可能（红 $2$ 个未动）；黑 $5$ 红 $0$ 黑也不行。需检查：$X=5$ 黑先完要求 $5$ 次含 $5$ 黑 $0$ 红，但 $6$ 黑取 $5$ 时红还有 $2$ 个，不符合红取完条件；黑先完要求 $5$ 次取完 $5$ 黑？最多取 $5$ 黑 $0$ 红仍红未取完；实际上黑先完至少要取 $6$ 黑。故 $X=5$ 只有红先完，$P(X=5) = \dfrac{5}{14} - \dfrac{3}{14} = \dfrac{1}{7}$。

$P(X=6)$：$6$ 次红先完（$2$ 红 $4$ 黑，前 $5$ 次红未取完）：

$\dfrac{\mathrm{C}_{2}^{2}\mathrm{C}_{6}^{4}}{\mathrm{C}_{8}^{6}} - P(X=3)-P(X=4)-P(X=5) = \dfrac{15}{28} - \dfrac{3}{28} - \dfrac{3}{28} - \dfrac{2}{28} = \dfrac{7}{28} = \dfrac{1}{4}$。

黑先完在 $X=6$：$6$ 次取 $6$ 黑 $0$ 红，红未动，不可能取完。故 $P(X=6) = \dfrac{1}{28}$。

$P(X=7)$：$7$ 次必停止（剩 $1$ 球）。用归一性：$P(X=7) = 1 - \dfrac{3}{28} - \dfrac{3}{28} - \dfrac{4}{28} - \dfrac{1}{28} = \dfrac{17}{28}$。

重新核查：$P(X=3)=\dfrac{3}{28}, P(X=4)=\dfrac{3}{28}, P(X=5)=\dfrac{4}{28}, P(X=6)=\dfrac{1}{28}, P(X=7)=\dfrac{17}{28}$，总和 $=\dfrac{28}{28}=1$。

$E(X) = 3 \times \dfrac{3}{28} + 4 \times \dfrac{3}{28} + 5 \times \dfrac{4}{28} + 6 \times \dfrac{1}{28} + 7 \times \dfrac{17}{28} = \dfrac{9+12+20+6+119}{28} = \dfrac{166}{28} = \dfrac{83}{14}$。

$(3)$ 甲袋初始 $1$ 红 $3$ 黑，乙袋 $1$ 红 $3$ 黑。每次从甲乙各取一球交换。设 $P_n$ 为第 $n$ 次操作后甲袋恰有 $1$ 个红球的概率。

每次操作后甲袋红球数只能是 $0, 1, 2$ 之一，构成 Markov 链。

状态 $0$（甲 $0$ 红，乙 $2$ 红）：甲取黑（必取），乙取红或黑：

• 乙取红（概率 $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$）：甲换入红 $\to$ 状态 $1$。
• 乙取黑（概率 $\dfrac{1}{2}$）：甲换入黑 $\to$ 状态 $0$。

状态 $1$（甲 $1$ 红 $3$ 黑，乙 $1$ 红 $3$ 黑）：

• 甲取红（概率 $\dfrac{1}{4}$），乙取红（概率 $\dfrac{1}{4}$）：状态不变 $\to 1$。
• 甲取红，乙取黑（$\dfrac{1}{4}\times\dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{16}$）：甲出红入黑 $\to 0$。
• 甲取黑，乙取红（$\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{16}$）：甲入红 $\to 2$。
• 甲取黑，乙取黑（$\dfrac{3}{4}\times\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{16}$）：状态不变 $\to 1$。

状态 $2$（甲 $2$ 红，乙 $0$ 红）：对称于状态 $0$，转移概率互换。

转移矩阵（状态 $0, 1, 2$）： $P_{0\to1} = \dfrac{1}{2},\quad P_{0\to0} = \dfrac{1}{2}$。 $P_{1\to0} = \dfrac{3}{16},\quad P_{1\to2} = \dfrac{3}{16},\quad P_{1\to1} = \dfrac{5}{8}$。 $P_{2\to1} = \dfrac{1}{2},\quad P_{2\to2} = \dfrac{1}{2}$。

由对称性 $P_n^{(0)} = P_n^{(2)}$，记 $p_n = P_n^{(1)}$（甲恰有 $1$ 红的概率）。

$p_{n+1} = p_n \cdot \dfrac{5}{8} + (1-p_n) \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{8}p_n + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}p_n = \dfrac{1}{8}p_n + \dfrac{1}{2}$。

递推：$p_{n+1} - \dfrac{4}{7} = \dfrac{1}{8}(p_n - \dfrac{4}{7})$（平衡点 $p^* = \dfrac{1}{2}/\dfrac{7}{8} = \dfrac{4}{7}$）。

$p_0 = 1$，故 $p_n - \dfrac{4}{7} = \left(\dfrac{1}{8}\right)^n\left(1 - \dfrac{4}{7}\right) = \dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{1}{8^n}$。

$P_n = p_n = \dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{1}{8^n} + \dfrac{4}{7} = \dfrac{3+4\cdot 8^n}{7\cdot 8^n}$。

答案

$(1)$ $\dfrac{3}{14}$；$(2)$ 分布列 $P(X=3)=\dfrac{3}{28}, P(X=4)=\dfrac{3}{28}, P(X=5)=\dfrac{1}{7}, P(X=6)=\dfrac{1}{28}, P(X=7)=\dfrac{17}{28}$，$E(X)=\dfrac{83}{14}$；$(3)$ $P_n = \dfrac{4}{7} + \dfrac{3}{7\cdot 8^n}$。