切线圆与向量点积

$\odot O$ 半径 $1$。$PA$ 切于 $A$，$PB$ 交圆于 $B,C$，$D$ 为 $BC$ 中点。$|PO|=\sqrt{2}$。

$|PA|^2=|PO|^2-1=2-1=1$，$|PA|=1$。

$D$ 为 $BC$ 中点 $\Rightarrow$ $OD\perp BC$（垂径定理）。

$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PD}$。

$P$ 在圆外，$|PO|=\sqrt{2}$。设 $P=(\sqrt{2},0)$，$O=(0,0)$。

$A$ 为切点：$OA\perp PA$，$|OA|=1$，$|PA|=1$。$A$ 在圆上且 $\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{PA}$。

$A=(\cos\theta,\sin\theta)$。$\overrightarrow{PA}=(\cos\theta-\sqrt{2},\sin\theta)$。

$|PA|^2=(\cos\theta-\sqrt{2})^2+\sin^2\theta=1-2\sqrt{2}\cos\theta+2=3-2\sqrt{2}\cos\theta=1$。

$\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，$\theta=\pm\dfrac{\pi}{4}$。

取 $A=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$。$\overrightarrow{PA}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$。

$D$ 为 $BC$ 中点，$OD\perp BC$。$D$ 在 $OD$ 方向上。$D$ 在以 $O$ 为圆心半径 $\leq 1$ 的圆内。

设 $D=(\cos\varphi\cdot t,\sin\varphi\cdot t)$（$0\leq t\leq 1$）。

$\overrightarrow{PD}=(t\cos\varphi-\sqrt{2},t\sin\varphi)$。

$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PD}=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)(t\cos\varphi-\sqrt{2})+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot t\sin\varphi$

$=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left[-t\cos\varphi+\sqrt{2}+t\sin\varphi\right]=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left[\sqrt{2}+t(\sin\varphi-\cos\varphi)\right]$

$=1+\dfrac{t(\sin\varphi-\cos\varphi)}{\sqrt{2}}$

$\sin\varphi-\cos\varphi\leq\sqrt{2}$，$t\leq 1$。

最大值 $=1+\dfrac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1+1=2$。

但需 $D$ 是合法的弦中点。$D$ 在 $OP$ 连线上时需检验。

$D$ 在圆内任意位置（$t\leq 1$），$t=1,\varphi=\dfrac{3\pi}{4}$（$\sin\varphi-\cos\varphi=\sqrt{2}$）：$D=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$（在圆上，$BC$ 退化为切线）。

$D$ 严格在圆内时 $t<1$，$\max\to 2^-$。若 $D$ 可在圆上（$BC$ 为切线），$\max=2$。

但 $PB$ 交圆于 $B,C$ 两点，$D$ 为弦中点，$D$ 在圆内（$t<1$）。$t\to 1$ 时接近 $2$。

选项中 $1+\sqrt{2}\approx 2.414$ 或 $2+\sqrt{2}\approx 3.414$ 或 $\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\approx 1.207$ 或 $\dfrac{1+2\sqrt{2}}{2}\approx 1.914$。

$\dfrac{1+2\sqrt{2}}{2}\approx 1.914<2$。可能 $D$ 有额外约束。

$D$ 在 $OP$ 连线上时有约束 $D=O+t\cdot\hat{OP}$。但 $D$ 可在任意方向。

实际上 $D$ 不是任意的：$B,C,P$ 共线，$D$ 是 $BC$ 中点。$OD\perp BC$ 即 $OD\perp PD$。

$\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{PD}=0$：$(t\cos\varphi)(t\cos\varphi-\sqrt{2})+t\sin\varphi\cdot t\sin\varphi=0$

$t^2-t\sqrt{2}\cos\varphi=0$，$t=\sqrt{2}\cos\varphi$（$t>0$）。

$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PD}=1+\dfrac{\sqrt{2}\cos\varphi(\sin\varphi-\cos\varphi)}{\sqrt{2}}=1+\cos\varphi(\sin\varphi-\cos\varphi)$

$=1+\dfrac{\sin 2\varphi}{2}-\cos^2\varphi=1+\dfrac{\sin 2\varphi}{2}-\dfrac{1+\cos 2\varphi}{2}$

$=1+\dfrac{\sin 2\varphi-\cos 2\varphi-1}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin 2\varphi-\cos 2\varphi}{2}$

$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin\left(2\varphi-\dfrac{\pi}{4}\right)$

最大值 $=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$。

答案

选 A。$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PD}$ 的最大值为 $\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$。