五面体体积

先把这个立体看清楚。

三条棱 $AD \parallel BE \parallel CF$，长度分别是 $1$、$2$、$3$，且两两之间的距离都是 $1$。

既然三条平行线两两等距，那么在垂直于棱的方向上看，它们的投影是同一个正三角形的三个顶点，边长为 $1$。所以这个五面体可以理解成：

一个正三棱柱（底面是边长 1 的等边三角形），被两个斜面从上往下"阶梯式"地切过。

三个顶点处的棱长不同：$AD=1$、$BE=2$、$CF=3$。

思路：补全成棱柱，再减掉两个棱锥。

把最短的 $AD$ 延长到 $3$，这样三条棱一样长，得到一个完整的三棱柱：

• 棱柱高（棱长）$=3$；
• 底面是边长 $1$ 的等边三角形，面积

$$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$$

所以

$$V_{\text{棱柱}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3 = \frac{3\sqrt{3}}{4}$$

注意：补出来的两部分不是棱锥，而是"三棱柱被斜切"的楔形。 直接说成棱锥会算错，这里要特别小心。

换一条更稳的路：沿棱的方向积分。

设棱的方向为 $z$ 轴，横截面（垂直于棱）始终是那个边长 1 的等边三角形，面积恒为

$$S = \frac{\sqrt{3}}{4}$$

关键在每个高度上，截出来的是完整的三角形还是被切掉一部分。

由于三条棱分别只延伸到 $z=1$、$z=2$、$z=3$（都从 $z=0$ 出发）：

• $0 \le z \le 1$：三条棱都在，截面是完整的等边三角形；
• $1 < z \le 2$：$AD$ 已经到底，截面被切掉一个角；
• $2 < z \le 3$：$AD$、$BE$ 都到底，截面只剩更小的一部分。

这样算要处理变截面，比较繁。

最简洁的办法：利用"沿棱方向线性变化"的积分公式。

对这类三条平行棱长度呈线性变化的立体（也叫拟柱体），有一个通用公式：

$$V = \frac{S_{\text{截}}}{3}\left(h_1 + h_2 + h_3\right)$$

其中 $S_{\text{截}}$ 是垂直棱的截面面积，$h_1, h_2, h_3$ 是三条棱的长度。

它的道理可以这样理解：把三条棱的长度"一视同仁"地加权平均——每个顶点对体积的贡献相同，所以直接除以 3。

代入本题：

$$V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times (1 + 2 + 3) = \frac{\sqrt{3}}{12} \times 6 = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

这个公式为什么可信？ 可以用两个极端情形验证：

1. 三条棱等长 $h$：$V = \dfrac{S}{3}\cdot 3h = Sh$，正是棱柱体积，✓
2. 其中一条棱长 $0$：三条棱变成两条，立体退化成"三棱柱被切一半"的楔形，公式给出的结果是 $\dfrac{S}{3}(0+h+h) = \dfrac{2Sh}{3}$，与直接算楔形体积一致，✓

所以本题

$$V = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

答案

选 C。体积为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。

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一句话总结：三条平行棱两两等距，说明横截面是正三角形；棱长不等时用拟柱体公式 $V=\dfrac{S}{3}(h_1+h_2+h_3)$，并用「三棱等长退化成棱柱」和「一棱为 0 退化成楔形」两个极端验证公式。