正方体旋转与空间卦限

【答案】A 【分析】不妨设正方体的棱长为3，分析可知点 $C$ 的轨迹是以点 $E\left(2,2,2\right)$ 为圆心，半径 $r=\sqrt{6}$ 的圆，解法一：设 $P\left(x,y,z\right)$ ，列方程分析点 $C$ 的轨迹与各坐标面的交点即可判断；解法二：利用补形法，可知点 $C$ 的轨迹即为 $\triangle PQR$ 的内切圆，即可判断结果. 【详解】不妨设正方体的棱长为3， 则 $A\left(0,0,0\right)$ ， $C\left(3,3,0\right)$ ， $C_{1}\left(3,3,3\right)$ ， 可得 $\vec{AC}=\left(3,3,0\right)$ ， $\vec{AC_{1}}=\left(3,3,3\right)$ ， 设点 $C$ 在体对角线 $AC_{1}$ 上的投影为 $E$ ， $\vec{AE}=\lambda\vec{AC_{1}}=\left(3\lambda,3\lambda,3\lambda\right)$ ， $\lambda\in\left[0,1\right]$ ， [插图] 则 $\vec{CE}=\vec{AE}-\vec{AC}=\left(3\lambda-3,3\lambda-3,3\lambda\right)$ ， 可得 $\vec{CE}⋅\vec{AC_{1}}=9\lambda-9+9\lambda-9+9\lambda=0$ ，解得 $\lambda=\dfrac{2}{3}$ ， 则 $\vec{AE}=\left(2,2,2\right)$ ，即 $E\left(2,2,2\right)$ ，且 $CE=\sqrt{6}$ ， 可知点 $C$ 的轨迹是以点 $E\left(2,2,2\right)$ 为圆心，半径 $r=\sqrt{6}$ 的圆， 解法一：在点 $C$ 的轨迹任取一点 $P\left(x,y,z\right)$ ，则 $\vec{EP}=\left(x-2,y-2,z-2\right)$ ， 则 $\left\{\begin{matrix}\vec{EP}⋅\vec{AC_{1}}=3\left(x-2\right)+3\left(y-2\right)+3\left(z-2\right)=0 \\ \left|\vec{EP}\right|=\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}+\left(z-2\right)^{2}}=\sqrt{6}\end{matrix}\right.$ ，整理可得 $\left\{\begin{matrix}x+y+z=6 \\ \left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}+\left(z-2\right)^{2}=6\end{matrix}\right.$ ， 令 $z=0$ 可得 $\left\{\begin{matrix}x+y=6 \\ \left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}=2\end{matrix}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{matrix}x=3 \ y=3\end{matrix}\right.$ ，可知点 $C$ 的轨迹与平面 $xOy$ 相切， 令 $y=0$ 可得 $\left\{\begin{matrix}x+z=6 \\ \left(x-2\right)^{2}+\left(z-2\right)^{2}=2\end{matrix}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{matrix}x=3 \ z=3\end{matrix}\right.$ ，可知点 $C$ 的轨迹与平面 $xOz$ 相切， 令 $x=0$ 可得 $\left\{\begin{matrix}y+z=6 \\ \left(y-2\right)^{2}+\left(z-2\right)^{2}=2\end{matrix}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{matrix}y=3 \ z=3\end{matrix}\right.$ ，可知点 $C$ 的轨迹与平面 $yOz$ 相切， 所以点 $C$ 的轨迹经过空间中的1个卦限； 解法二：将正方体补成边长为6的正方体，如图所示： [插图] 则 $P\left(0,0,6\right)$ ， $Q\left(6,0,0\right)$ ， $R\left(0,6,0\right)$ ， 可知 $\triangle PQR$ 为边长为 $6\sqrt{2}$ 的正三角形，且其中心为 $E\left(2,2,2\right)$ ，且内切圆半径 $r=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\times6\sqrt{2}=\sqrt{6}$ ， 即可知点 $C$ 的轨迹即为 $\triangle PQR$ 的内切圆，所以点 $C$ 的轨迹经过空间中的1个卦限.