解三角形

（1）用余弦定理先求 $AC$。

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B = 9 + 12 - 2\times 3\times 2\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{3} = 9 + 12 - 12 = 9$$

所以 $AC = 3$。

再用余弦定理求 $\cos A$：

$$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2\cdot AB\cdot AC} = \frac{9 + 9 - 12}{2\times 3\times 3} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$$

（2）坐标法最稳。

这类题图形关系绕（$D$ 在延长线上、$DE\parallel BC$、$AE\perp AC$ 三个条件交叉），用几何相似容易看错角，直接建坐标系算。

以 $A$ 为原点、$AC$ 为 $x$ 轴。由 $\cos A = \dfrac{1}{3}$、$\sin A = \sqrt{1-\dfrac{1}{9}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，得

$$A(0,0), \qquad C(3,0), \qquad B\left(3\cos A,\ 3\sin A\right) = \left(1,\ 2\sqrt{2}\right)$$

注意 $D$ 的位置：$D$ 在 $BA$ 的延长线上，意思是从 $B$ 经过 $A$ 继续往外走，所以

$$D = B + s(A-B) = \big(1-s,\ 2\sqrt{2}(1-s)\big), \qquad s > 1$$

注意 $E$ 的位置：$AE\perp AC$，而 $AC$ 在 $x$ 轴上，所以 $AE$ 是竖直线，设

$$E = (0, e)$$

列两个方程。

条件一：$DE\parallel BC$。两个方向向量叉积为 $0$：

$$\overrightarrow{BC} = (2,\ -2\sqrt{2}), \qquad \overrightarrow{DE} = (s-1,\ e - 2\sqrt{2}(1-s))$$ $$(s-1)(-2\sqrt{2}) - \big(e - 2\sqrt{2}(1-s)\big)\cdot 2 = 0$$

条件二：$DE = \sqrt{6}$，即

$$(s-1)^2 + \big(e + 2\sqrt{2}s - 2\sqrt{2}\big)^2 = 6$$

解这个方程组。 把 $e = -2s\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2} + \cdots$ 直接代入会繁琐，这里用消元法：由条件一可解出 $e$ 关于 $s$ 的表达式，代入条件二得到关于 $s$ 的方程，解得

$$s = 1 + \sqrt{2} \quad (\text{取 } s>1 \text{ 的那支})$$

代回得

$$e = -6$$

于是

$$D\big(-\sqrt{2},\ -4\big), \qquad E(0,\ -6)$$

验证三个条件，一个都不能少：

• $D$ 在 $BA$ 延长线上：$\overrightarrow{BD} = (-2.414,\ -6.828)$ 与 $\overrightarrow{BA} = (-1,\ -2.828)$ 同向 ✓
• $DE=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(-2)^2} = \sqrt{6}$ ✓
• $DE\parallel BC$：$(\sqrt{2},\,-2)$ 与 $(2,\,-2\sqrt{2})$ 对应分量成比例 $\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{-2}{-2\sqrt{2}}$ ✓
• $AE\perp AC$：$A(0,0)$、$C(3,0)$、$E(0,-6)$，$AC$ 水平、$AE$ 竖直，显然垂直 ✓

最后求 $CE$：

$$CE = \sqrt{(3-0)^2 + (0-(-6))^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

答案

（1）$\cos A = \dfrac{1}{3}$；（2）$CE = 3\sqrt{5}$。

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一句话总结：多个点线约束交叉时优先建坐标系；$D$ 在"延长线"上要用参数 $s>1$ 表示方向，解完必须逐条验证题目给的每个条件——特别是平行和垂直。