立体几何直三棱柱

建坐标系，一次性解决两问。

直三棱柱中 $\angle ACB = 90^\circ$、$AC = BC$，天然适合建系。以 $C$ 为原点：

• $x$ 轴沿 $CA$，$y$ 轴沿 $CB$，$z$ 轴沿 $CC_1$；
• 设 $AC = BC = a$，则 $A(a,0,0)$、$B(0,a,0)$、$C_1(0,0,2)$（已知 $CC_1 = 2$）。

由中点公式：

$$D = \frac{A+B}{2} = \left(\frac{a}{2},\ \frac{a}{2},\ 0\right), \qquad E = \frac{A+C_1}{2} = \left(\frac{a}{2},\ 0,\ 1\right)$$

于是

$$\overrightarrow{DE} = E - D = \left(0,\ -\frac{a}{2},\ 1\right)$$

（1）证明 $DE \parallel$ 平面 $BCC_1B_1$。

平面 $BCC_1B_1$ 经过 $C(0,0,0)$、$B(0,a,0)$、$C_1(0,0,2)$，这三个点的 $x$ 坐标都是 $0$，所以该平面就是

$$x = 0 \quad (\text{即 } yz \text{ 平面})$$

它的法向量是 $\vec{n} = (1,0,0)$。直线与平面平行的判定：方向向量与法向量垂直。

$$\overrightarrow{DE} \cdot \vec{n} = 0 \times 1 + \left(-\frac{a}{2}\right)\times 0 + 1 \times 0 = 0$$

所以 $\overrightarrow{DE} \perp \vec{n}$，即 $DE \parallel$ 平面 $BCC_1B_1$。再确认 $DE$ 不在该平面内（$D$ 的 $x = \dfrac{a}{2} \neq 0$），故为平行而非在平面内。

（2）用线面角求出 $a$，再算距离。

平面 $ACC_1A_1$ 经过 $A(a,0,0)$、$C(0,0,0)$、$C_1(0,0,2)$，三点的 $y$ 坐标都是 $0$，所以该平面就是

$$y = 0 \quad (\text{即 } xz \text{ 平面})$$

法向量 $\vec{n_2} = (0,1,0)$。

设直线 $DE$ 与平面 $ACC_1A_1$ 所成角为 $\theta$（线面角取锐角），则

$$\sin\theta = \frac{\left|\overrightarrow{DE}\cdot\vec{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{DE}\right|} = \frac{\dfrac{a}{2}}{\sqrt{\dfrac{a^2}{4} + 1}} = \frac{a}{\sqrt{a^2+4}}$$

题目给定 $\theta = 45^\circ$，即 $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$：

$$\frac{a}{\sqrt{a^2+4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

两边平方（两边均正，平方不引入增根）：

$$\frac{a^2}{a^2+4} = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad 2a^2 = a^2 + 4 \quad\Rightarrow\quad a^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad a = 2$$

求直线 $DE$ 到平面 $BCC_1B_1$ 的距离。

由（1）已知 $DE \parallel$ 平面 $BCC_1B_1$（即 $x=0$），所以 $DE$ 上每一点到该平面的距离都相等。取 $D$ 算：

$$D\left(\frac{a}{2},\ \frac{a}{2},\ 0\right) = (1,\ 1,\ 0)$$

平面 $x=0$ 到点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的距离就是 $|x_0|$，所以

$$d = \left|\frac{a}{2}\right| = \frac{2}{2} = 1$$

（换个角度验证：） 写出 $DE$ 的参数方程

$$\left(\frac{a}{2},\ \frac{a}{2} - \frac{a}{2}t,\ t\right)$$

可见 $x$ 坐标恒为 $\dfrac{a}{2}$，与 $t$ 无关——这正说明整条直线与 $x=0$ 平行且距离恒为 $\dfrac{a}{2}=1$。

答案

（1）$\overrightarrow{DE} = \left(0,-\dfrac{a}{2},1\right)$ 与平面 $BCC_1B_1$ 的法向量 $(1,0,0)$ 垂直，且 $D$ 不在平面内，故 $DE \parallel$ 平面 $BCC_1B_1$。

（2）$a = 2$，$DE$ 到平面 $BCC_1B_1$ 的距离为 $1$。

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一句话总结：直三棱柱遇到"证明平行 + 求距离/角"一律建坐标系——把两个特殊面识别成 $x=0$ 和 $y=0$ 这类坐标平面，垂直用点积、角用正弦公式、距离读坐标，三步走完。