空间几何与二面角

先建坐标系，把"距离"和"二面角"都变成数字。

以 $AB$ 为 $x$ 轴，$A$ 为原点。

• 含 $C$ 的半平面取 $xy$ 平面（$y>0$）。$C$ 到 $AB$ 距离为 $2$，故

$$C=(x_1,\ 2,\ 0)$$

• 含 $D$ 的半平面与前者成 $60^\circ$ 二面角，故它可看作把 $xy$ 平面绕 $x$ 轴旋转 $60^\circ$ 得到。$D$ 到 $AB$ 距离为 $1$，所以 $D$ 在该平面内、距 $x$ 轴 $1$：

$$D=\left(x_2,\ \cos 60^\circ,\ \sin 60^\circ\right) = \left(x_2,\ \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

下面逐个判断。

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A. $\angle CAD \ge 60^\circ$？

$$\overrightarrow{AC}=(-x_1,-2,0), \qquad \overrightarrow{AD}=\left(-x_2,-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

取 $x_1=x_2=-10$（两点都远离 $A$ 且在 $AB$ 同一侧）：

$$\cos\angle CAD = \frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AC}|\,|\overrightarrow{AD}|}$$

代入算得 $\angle CAD\approx 9.78^\circ < 60^\circ$。

A 错误。

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B. $CD \ge \sqrt{3}$？

$$CD^2 = (x_1-x_2)^2 + \left(2-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(0-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$$ $$= (x_1-x_2)^2 + \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = (x_1-x_2)^2 + 3 \ge 3$$

所以

$$CD \ge \sqrt{3}$$

等号在 $x_1=x_2$（即 $C$、$D$ 在与 $AB$ 垂直的同一平面内）时取得。

B 正确。

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C. 当 $AB \perp CD$ 时，$CD \perp$ 平面 $ABD$？

$AB$ 的方向是 $(1,0,0)$，所以 $AB\perp CD$ 意味着 $CD$ 的 $x$ 分量为 $0$，即

$$x_1 = x_2$$

取 $x_1=x_2=x_0$，此时

$$\overrightarrow{CD} = \left(0,\ \frac{1}{2}-2,\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left(0,\ -\frac{3}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

平面 $ABD$ 由 $\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$ 与 $\overrightarrow{AD}$ 张成，其法向量

$$\vec{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} = (1,0,0)\times\left(x_0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot(\text{取 }A\text{ 为基准})$$

直接取 $A(0,0,0)$、$B(1,0,0)$、$D\left(x_0,\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)$：

$$\vec{n} = (B-A)\times(D-A) = (1,0,0)\times\left(x_0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left(0,\ -\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)$$

把它与 $\overrightarrow{CD}=\left(0,-\frac32,\frac{\sqrt3}{2}\right)$ 比较：后者等于前者的 $\sqrt{3}$ 倍，二者共线。

所以 $CD$ 与平面 $ABD$ 的法向量平行，即

$$CD \perp \text{平面 } ABD$$

（$D$ 在平面 $ABD$ 内，$CD$ 过 $D$，故确实垂直而非斜交。）

C 正确。

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D. 当 $AB \perp$ 平面 $ACD$ 时，$AC \perp AD$？

$AB\perp$ 平面 $ACD$ 要求 $AB$ 垂直于平面内两条相交直线，所以 $AB\perp AC$ 且 $AB\perp AD$。

由 $AB$ 沿 $x$ 轴，$AB\perp AC$ 推出 $\overrightarrow{AC}$ 的 $x$ 分量为 $0$，即 $x_1=0$，于是 $C=(0,2,0)$；同理 $x_2=0$，于是 $D=\left(0,\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)$。

于是

$$\overrightarrow{AC}=(0,2,0), \qquad \overrightarrow{AD}=\left(0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ $$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD} = 0 + 2\cdot\frac{1}{2} + 0 = 1 \ne 0$$

所以 $AC$ 与 $AD$ 不垂直。实际上

$$|\overrightarrow{AC}|=2, \qquad |\overrightarrow{AD}|=1, \qquad \cos\angle CAD = \frac{1}{2}$$

即

$$\angle CAD = 60^\circ$$

（这正来自题目的二面角 $60^\circ$。）

D 错误。

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答案

选 BC。

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一句话总结：立体几何中出现"到定直线距离"与"二面角"时，以定直线为 $x$ 轴建系，两个动点各只有一个自由参数；把 $CD$ 写成两参数之差，模长下界、夹角范围、垂直判定全能一次算完。