圆与扇形的古法计算

原典

圆出于方，方出于矩。

环矩以为圆，合矩以为方。

——《周髀算经》卷上

这两句，是中国人第一次用「方」来定义「圆」。 古代既没有现成的圆规，也没有"圆周率"这个名词，那古人是怎么算圆的周长和面积的？答案就藏在"矩"这个字里——圆是用矩（直角曲尺）转出来的，量圆的方法自然也从方（正方形）里来。这一讲，我们就顺着这条线，把圆和扇形的古法计算一次讲透。

这段话在说什么

「圆出于方」不是一句文学比喻，而是一套可操作的作图法。 「矩」是一把直角曲尺，相当于今天的直角三角板。把矩的一条直角边固定在一个中心点当作轴，让另一条边绕着这个点旋转一整圈，尺端扫出的轨迹就是一个圆——这就是「环矩以为圆」。反过来，用两把矩可以拼出一个正方形，叫「合矩以为方」。一句话：转出来的是圆，拼出来的是方，而方是圆的"母本"。

既然圆是"转出来的"，古人就很自然地拿正方形去逼近圆。 在正方形里画内切圆，或者在圆里塞一个内接正多边形，两者的关系就是"圆"与"方"的关系。这个"以方度圆"的思路，后来被刘徽发展成了著名的割圆术；而它在《周髀算经》里的最早版本，就是这句"圆出于方"。看懂了这句话，就看懂了中国古代圆的计算的全部动机。

而要真去算，古人还需要一个比例——圆周长与直径的比。 古人取的那个粗糙比例，叫作"古率"，也就是下面要讲的"周三径一"。它是整座古代圆计算大厦的地基。

示意图

圆与扇形面积——扇形面积 = $\dfrac{\theta}{360°} \times \pi r^2$，其中 $\theta$ 为圆心角。圆心角越大，扇形占整个圆的比例越大。

古人的算法

古率：周三径一

「周三径一」的意思是：圆周长是直径的三倍。 写成公式就是 $C = 3d$，等价于取 $\pi = 3$。这是《周髀算经》全书采用的率——它就用这把"最简单的尺子"，算出了太阳轨道的周长和直径。

《周髀算经》卷上描述太阳在一年里走过的七个同心轨道，叫"七衡六间"。 每一衡都同时给出"径"和"周"，而两者的比恒为三比一。例如内一衡"径二十三万八千里，周七十一万四千里"，$238000 \times 3 = 714000$，分毫不差。这就是古率在书里的实际用法：知道直径，一步就能算出周长。

顺便说说"率"这个字。 「率」的本义是"比值"，圆周率就是"圆周长与它的直径的比值"，它是一个纯粹的比，不带单位、不挑大小——不管你画多大的圆，这个比值都固定不变，这正是圆最迷人的性质。 古人的"古率"、刘徽的"徽率"、祖冲之的"约率""密率"，叫法不同，说的都是同一个比。

从周三径一出发，圆的周长、面积、弧长、扇形面积，古人全部用乘法搞定。 古人的整套圆计算，本质上就是"三倍法则"的反复套用。

圆的周长与面积（古法）

周长：给出直径 $d$，周长就是

$$C = 3d = 6r \qquad (1)$$

圆面积：古人把圆面积看成"半径乘半周"。用古率，半周等于 $r$ 的三倍，即 $3r$；再乘半径 $r$：

$$S = \frac{C}{2} \times r = \frac{3d}{2} \times \frac{d}{2} = \frac{3}{4}d^2 = 3r^2 \qquad (2)$$

这个「半周乘半径」的写法，正是今天 $S = \pi r^2$ 的祖先。 把它放大来看：圆的面积相当于一个"底为半周长、高为半径"的三角形，所以 $S = \dfrac{1}{2} \times C \times r = \dfrac{1}{2} \times 2\pi r \times r = \pi r^2$。古人只差把 3 换成更精确的 $\pi$——方法天生就是对的，差的只是那个率。

弧长与扇形面积（古法）

扇形不过是圆的一部分，占多大比例，全看圆心角占整个圆周角（$360°$）的多少。 于是

$$l = \frac{\theta}{360°} \times 3d, \qquad S_{\text{扇}} = \frac{\theta}{360°} \times 3r^2 \qquad (3)$$

这套古法和今天的扇形公式，结构一模一样，只有一处不同：率是 3，还是 $\pi$。 也正因如此，今天课本上的扇形公式，长得和一千八百年前的古法几乎一样——古人搭好了骨架，刘徽和祖冲之只是把血肉填精确了。

三个算例

算例一（周长）：直径 $d = 6$ 的圆，求周长。 古法：$C = 3 \times 6 = 18$。用今天的 $\pi$：$C = \pi \times 6 \approx 18.850$。古法短了约 $0.85$，误差约 $4.5\%$——古率相当于把这个圆"当成"了一个周长略小的多边形。误差不大，但在大工程里就是实打实的亏空。

算例二（面积）：半径 $r = 10$ 的圆，求面积。 古法：$S = 3 \times 10^2 = 300$。刘徽率（$3.14$）：$S = 3.14 \times 100 = 314$。祖冲之密率（$\dfrac{355}{113}$）：$S = \dfrac{355}{113} \times 100 \approx 314.1593$。今天精确值 $S = \pi \times 100 \approx 314.1593$。用密率算出的结果，跟真值的差别已经落在小数点后第六位了。

算例三（扇形）：半径 $r = 6$、圆心角 $\theta = 60°$ 的扇形，求弧长和面积。 古法：$C = 3 \times 12 = 36$，弧长 $l = \dfrac{60°}{360°} \times 36 = 6$，面积 $S_{\text{扇}} = \dfrac{60°}{360°} \times 3 \times 6^2 = 18$（也可以用古法公式 $S = \dfrac{1}{2}lr = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$ 验证）。 今天：弧长 $l = \dfrac{1}{6} \times 2\pi \times 6 = 2\pi \approx 6.283$，面积 $S_{\text{扇}} = \dfrac{1}{2}lr = 6\pi \approx 18.850$。 三个算例都在说同一件事：古法的误差来自"率"，不来自"结构"。 公式骨架是对的，把 3 换成 $\pi$，一切数值就都对了。

一个容易搞错的地方

古人算圆，学生最容易栽在"径"和"半径"这两个字上。 「径」在《周髀算经》里指的是直径，不是半径；古率"周三径一"说的是周长比直径，即 $C = 3d$，而不是 $C = 3 \times$ 半径。做古法题时若把 $d$ 和 $r$ 混着代，结果会整整差一倍。记住一句话：周长比的是直径，面积乘的是半径。

第二个坑，是把弧长当成了弦长。 扇形里连接弧两端的直线叫弦，弧本身是曲线，二者长度并不相等。仍以半径 $6$、圆心角 $60°$ 为例：用现代公式，弧长 $l = 2\pi \approx 6.283$，而弦长恰好等于 $6$（正好是等边三角形的一条边）——弧永远比弦长，古法算的是弧，千万别拿弦去替代。 圆心角越大，弧与弦的差距越明显。

从周三径一到祖冲之

古率太粗，古人心里也清楚。 用 $\pi = 3$ 算出来的圆，周长的误差接近百分之五；修水利、造历法都要用到圆，这个偏差不能一直忍。于是一场持续一千多年的"逼近"就此开始。

第一步，是刘徽的割圆术（公元 263 年，《九章算术注》）。 他的想法极其朴素：在圆里画正多边形，边数越多，多边形就越像圆。他留下一段流传至今的名言：

割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。

从圆内接正六边形出发——正六边形的边长恰好等于半径 $r$，周长就是 $6r = 3d$，这正是古率"周三径一"的来源！ 刘徽把边数一路翻倍：$12$、$24$、$48$、$96$、$192$……用正 $192$ 边形算出 $\pi \approx \dfrac{157}{50} = 3.14$，再用正 $3072$ 边形精算到 $\pi \approx \dfrac{3927}{1250} = 3.1416$。

这里藏着一个惊人的事实：古率并不是古人把圆当成了多边形，而是从一开始就只量出了圆内接正六边形。 割圆术的全部意义，就是把六边形一步步"掰"成圆——"圆出于方"四个字，到这里终于变成了一套可以无限逼近的算法。

第二步，是祖冲之（公元 5 世纪，《大明历》）。 他给出了两个分数和一个区间：

• 约率：$\dfrac{22}{7} \approx 3.142857$；
• 密率：$\dfrac{355}{113} \approx 3.14159292$；
• 区间：$3.1415926 < \pi < 3.1415927$。

密率 $\dfrac{355}{113}$ 有多厉害？ 今天我们知道 $\pi = 3.14159265\ldots$，密率与它的差只有大约 $2.7 \times 10^{-7}$，相对误差不到亿分之九。用这么一个简单的分数逼近到这种程度，欧洲直到公元 16 世纪才由荷兰人安托尼兹重新得到——祖冲之比他早了整整一千年。

圆周率的精确化脉络，可以拉成一条线：

时代	结果	精确到
《周髀算经》古率	$3$	整数
刘徽（割圆术·细）	$\dfrac{157}{50} = 3.14$	两位小数
刘徽（割圆术·更细）	$\dfrac{3927}{1250} = 3.1416$	四位小数
祖冲之（密率）	$\dfrac{355}{113} \approx 3.14159292$	七位有效数字

从 3 到 3.14 再到 $\dfrac{355}{113}$，每一步都不是换了个更聪明的等式，而是多算了成倍的边数。 圆周率的精度，本质上是计算耐力换来的——这也是中国数学"算法化"传统的缩影：少说漂亮话，多算一步。

现代数学视角

高中数学里，扇形公式换了一副面孔，其实说的是同一件事。 进入弧度制后，圆心角 $\alpha$ 用"弧长与半径之比"来度量，一个整圆对应 $2\pi$。于是弧长和扇形面积写成

$$l = \alpha r \qquad (5)$$ $$S = \frac{1}{2}lr = \frac{1}{2}\alpha r^2 \qquad (6)$$

为什么能省掉 $360°$ 那个分母？因为弧度的定义本身就把「比例」吸收进去了。 比较一下：角度制下 $l = \dfrac{\theta}{360°} \times 2\pi r$，弧度制下却只有 $l = \alpha r$——后者把 $\dfrac{2\pi}{360°}$ 这个换算常数并进了 $\alpha$，式子立刻干净。弧度制不是新发明，而是把"三分之一百六十"这层啰嗦，提前算掉了。

$S = \dfrac{1}{2}\alpha r^2$ 里的那个 $\dfrac{1}{2}$，和三角形面积 $\dfrac{1}{2}ah$ 是同一个 $\dfrac{1}{2}$。 把扇形沿弧长方向"拉直"，它就是一个底为弧长 $l$、高为半径 $r$ 的三角形：底越长（圆心角越大），面积越大，比例正好是 $\dfrac{1}{2}lr$。这也正是古法"半周乘半径"的现代翻版——古人两千年前就把这个 $\dfrac{1}{2}$ 用对了。

在高中数学体系里的位置

思想延伸：从「圆出于方」到割圆术，体现的是"以直代曲、无限逼近"的思想。这个思想后来长成了微积分——用多边形无限逼近曲线图形，正是积分的第一课；扇形面积公式 $\dfrac{1}{2}lr$ 与"无穷分割求面积"一脉相承。

运算练兵场：弧长公式、扇形面积公式、弧度与角度的互化，是三角函数一章的基本运算，也是解析几何里极坐标、参数方程的预备动作。

综合题常客：圆和扇形极少单独出现，它们常和三角函数（弧度、单位圆）、向量（圆周运动的分解）、解析几何（圆的方程、弦长、切线）绑在一起考。近年高考的解析几何大题，圆几乎是绕不开的背景图形。

思考与拓展

1. 用古率 $\pi = 3$ 算一个半径 $r = 10$ 的圆的面积，再用 $\pi = \dfrac{355}{113}$ 算一遍，两者的差是多少？这个差是从哪里冒出来的？
2. 一个扇形的圆心角为 $60°$、半径为 $6$，先用古法（$\pi = 3$）再用现代公式求它的弧长和面积，比较两次结果，误差有多大？
3. 证明：圆的面积可以写成 $S = \dfrac{1}{2}Cr$（$C$ 为周长）。这个式子为什么和扇形面积 $S = \dfrac{1}{2}lr$ 长得一样？背后的几何道理是什么？
4. 刘徽用正 $192$ 边形得到 $\pi \approx 3.14$。如果把边数再翻倍到 $384$，精度大概能提高多少？试着自己解释"割之弥细，所失弥少"这句话的含义。

一句话总结

圆与扇形的古法计算——从古率「周三径一」（$\pi = 3$）到刘徽割圆术（$3.14$）、祖冲之密率（$\dfrac{355}{113}$），古人靠不断加倍的多边形边数，一步步把圆逼近到小数点后第七位。