相似三角形在古代测量中的应用

从一类不可能的问题开始

有些东西没法直接量。

井有多深？不能把尺子伸下去。太阳有多高？更不能。 河有多宽？没有船就过不去。山有多高？爬上去要三天。

这些问题在古代不是「难」，是「不可能」。 但《周髀算经》和刘徽《海岛算经》给出了一套统一办法：量那些量得到的，推算那些量不到的。

工具是相似三角形。

示意图

相似三角形测量——通过测量可到达的影长或基线，推算不可到达的目标（如太阳、河宽、山高等）。

核心：一个比例式打天下

古代测量的所有花样，归根到底是一个比例式。

相似三角形的对应边成比例：

$$\frac{H}{h} = \frac{L}{l} \Rightarrow H = \frac{h \cdot L}{l} \qquad (1)$$

其中：

• $H$：待测高度（如日高、岛高）
• $h$：已知高度（如表高、木高）
• $L$：对应的大距离（如影端到目标）
• $l$：对应的小距离（如影长）

这个式子的用法：找一对「现成的高度」和「现成的影长」，量出它们的比，再去乘那个够不着的大距离。

所有的技巧都在于「怎么把 $h$ 和 $l$ 摆出来」。 太阳的例子用表，海岛的例子用两根表，井的例子用一根木——工具不同，比例式同一个。

井深测量：立木望水

问题：井有多深？

不能把尺子伸下去。但可以让一根木杆立在井口，人往后退，退到某个位置时，视线刚好越过杆顶看到水面。

设：

• 木高 $h = 5$ 尺
• 井口到观测者距离 $D = 30$ 尺
• 观测者到木杆距离 $s = 2$ 尺

视线、木杆、井壁构成两个相似三角形：一个「大」的以井深为高、以 $D$ 为底；一个「小」的以木高为高、以 $s$ 为底。

$$\frac{H}{5} = \frac{30}{2}$$ $$H = \frac{5 \times 30}{2} = 75\ \text{尺}$$

井深七十五尺。

关键：全程只量了三个「站地上就能量」的数——木高、井口到人、人到木。井深是推出来的。

太阳高度角：影子里藏着的角度

问题：太阳现在多高？

更准确的说法是「太阳高度角」——太阳光线与地面的夹角。

立一根表，高 $h$；量它的影长 $l$。阳光、表、影子构成直角三角形：

$$\tan \theta = \frac{h}{l}$$

不同的影长给出不同的角度：

表高	影长	$\tan\theta$	高度角 $\theta$
8 尺	3 尺	2.6667	约 $69.44°$
8 尺	6 尺	1.3333	约 $53.13°$
8 尺	12 尺	0.6667	约 $33.69°$

影越短太阳越高，与日常观察一致。夏天正午影子短，冬天正午影子长——古人就用影长的变化定节气。

注意这是「角度」不是「距离」。 想知道太阳离我们多远，是另一套模型（第 2 讲的日高测量），需要引入「南北相距」这个基线。

河宽测量：一条基线换一条河

问题：河有多宽？

选对岸一个目标点 $A$。在岸边取一线段 $BC$，取 $BC$ 的中点 $M$，过 $M$ 作垂直于 $BC$ 的线并在岸边走到视线对准 $A$ 的位置 $D$。此时 $BC \perp DM$，两边等腰，量出相关长度即得河宽。

用相似的语言：这条垂线与河岸、与目标方向构成相似三角形，量得岸上的长度，就能推出对岸的宽度。

更一般的做法：在岸边量一段基线 $BC$，在 $B$、$C$ 两点分别测目标 $A$ 的方向角，用正弦定理即可解出三角形 $ABC$。这是三角测量的标准形态，也是重差术的一般化。

巅峰：重差术

相似三角形量一样东西，需要「一条现成的边」。但真正的难题——海上的岛、山后的峰——连基线都拉不了。

刘徽《海岛算经》给出重差术，用两次观测消去不可达的距离。

模型：立两根等高的表，相距 $d$（这个能量）。观测者先后后退，两次让视线分别过前表顶、后表顶看到岛顶。两次后退的距离差 $\Delta = b - a$ 就是关键。

岛高：

$$H = \frac{h \cdot d}{b - a} + h$$

代一组数：表高 $h = 3$，表距 $d = 1000$，两次却行 $a = 100$、$b = 123$：

$$H = \frac{3 \times 1000}{123 - 100} + 3 = \frac{3000}{23} + 3 \approx 133.43$$

再验一组：表高 $h = 6$，表距 $d = 1500$，却行 $a = 90$、$b = 113$：

$$H = \frac{6 \times 1500}{113 - 90} + 6 = \frac{9000}{23} + 6 \approx 397.30$$

重差术的巧妙在于「差」字：两次观测的差值 $b - a$ 恰好把不可测的绝对距离消掉了，只留下可量的相对差。这个思想在今天叫差分——用差异代替绝对值，是测量与信号处理的基本策略。

现代数学视角

在高中数学中，相似三角形是解三角形的基础。正弦定理和余弦定理是相似三角形的推广：

正弦定理：$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

血缘关系：

• 相似三角形 → 只处理直角三角形、且已知一条对应边
• 正弦定理 → 任意三角形、已知两角一边即可解
• 余弦定理 → 任意三角形、已知两边夹角或三边即可解

相似是「比例」，正弦是「比例的角化」，余弦是「长度的平方关系」。 三者一条线。

GPS 的数学祖先：卫星定位靠三角测量——已知多颗卫星的位置，测量到它们的距离（通过时间差），反推接收机位置。三颗卫星、三个距离、一个交点，与相似三角形同宗，只是把「视线」换成了「电磁波」。

一个思想：差异比绝对值更可靠

重差术值得单独提炼，因为它包含一个跨学科的共同思想。

回顾公式：

$$H = \frac{h \cdot d}{b - a} + h$$

关键在于分母是 $b - a$，一个差值。 两次后退的距离各自是多少并不重要，重要的是它们的差。

为什么差值比绝对值可靠？ 因为绝对测量容易带系统误差——你的表没竖直、量绳有伸缩、起点选得不准确。但两次测量用的是同一套工具、同一套方法，系统误差会相互抵消，差值反而更干净。

这个思想今天到处都是：差分电路用电容的差值抵消共模噪声；A/B 测试比较两组差异而非绝对指标；深度学习里的差分隐私靠注入噪声再统计差异。「用差异代替绝对值」是从刘徽重差术到现代信号处理的一条暗线。

在高中数学体系里的位置

思想延伸：相似三角形体现了「化归」思想——把不可直接测量的量转化为可测量的量。

运算练兵场：解三角形、三角函数计算。

高考地位：解三角形是高考必考内容（大题第 17 题）。

本讲的方法论：遇到「量不到」的问题，先问「能不能找到一对相似的形状，把它们联系起来」。这个提问方式比任何公式都更通用。

再进一步：如果一对相似形也搭不起来，就搭两对——用两对消去那个够不着的量。这就是从相似三角形走向重差术的一步，也是从「一次测量」走向「差分测量」的一步。工具不够时，不是放弃，而是增加一次观测。

思考与拓展

1. 设计一个利用相似三角形测量旗杆高度的方案（不许爬到旗杆顶）。
2. 如果太阳光与地面成 $\alpha$ 角，表高 $h$，影长 $l$，求太阳高度角的正弦值。
3. 在一条河的一侧，如何利用相似三角形测河宽？
4. 思考题：用重差术模型，表高 5、表距 800、却行 100 和 115，求岛高。（答案：$\dfrac{5 \times 800}{15} + 5 = 271.67$。）\n5. 思考题：为什么重差术要求两根表等高？如果两根表不一样高，公式该怎么改？
5. 思考题：GPS 定位至少需要几颗卫星？二维定位（地面）和三维定位（空中）所需卫星数不同，为什么？

一句话总结

相似三角形是古代测量的核心工具——从井深到日高，从河宽到海岛，化归思想贯穿始终；而重差术用两次观测的差值消去不可达的距离，把「测不到」变成「算得出」。