天文计算中的分数技巧

原典

故曰：一岁三百六十五日、四分日之一，一岁一内极，一外极。

三十日、十六分日之七，月一外极，一内极。

——《周髀算经》卷上

这段话说的是什么

天文计算的本质，是把"除不尽"的量算准。

日月在天上走，走的不是整数天。太阳从冬至回到冬至，要 365 天多一点；月亮从朔到朔，要 29 天多一点。这个"多一点"就是分数。谁把这个分数估得准，谁的历法就准；谁的历法准，谁就能提前告诉皇帝明年哪天该祭天、哪天该下地——在天人感应的古代，这是王朝的正统性所在。

所以《周髀算经》谈日月运行，谈的不是诗意，而是算账。它要给出一套可操作的程序：把观测到的周期写成带分数，再用分数的四则运算推出各种有用的结论——一年有多少个月、多少年该加几个闰月、什么时候是朔、冬至会漂到哪一天。这一讲，我们就跟着古人把这些账亲手算一遍。

为什么天文计算离不开分数

因为天上最重要的两个周期，都不是整数天。

第一个是回归年，即太阳两次经过冬至的间隔。现代值是 365.2422 天。古四分历取的是 365.25 天，写成带分数就是

$$365\frac{1}{4} \qquad (1)$$

写成假分数则是

$$365\frac{1}{4} = \frac{365 \times 4 + 1}{4} = \frac{1461}{4} \qquad (2)$$

第二个是朔望月，即月亮两次朔之间的间隔。现代值是 29.5306 天。四分历取的是

$$29\frac{499}{940} \qquad (3)$$

分母 940、分子 499，看着像是随便凑的数。其实不是——它是从"一年 365 又 1/4 天"和"十九年七个闰月"这两条假设里，用分数运算严格推出来的。下面我们会亲手把 499 和 940 算出来，这是本讲最漂亮的一步。

关键判断：古代天文学里，分数不是"除不尽的残留物"，而是正式的工作语言。 天文学家整天在跟分数打交道：把观测值写成分数、通分比较、约分化简、做分数的加减乘除。这套功夫练不好，历法就做不出来。

古人的分数记法：筹算分数

现代人写 $a/b$，古人说的是"实分之法"。

中国古代数学的乘除法用的是"实"和"法"两个字：实是被除数，也就是分子；法是除数，也就是分母。"以法除实"就是做除法，《九章算术》通篇都是这种说法。至于"分数"这个词，字面意思就是"分出来的数"——把一个整体等分成若干份。

筹算（用竹棍摆出的算式）的记法很直观：分子摆上面，分母摆下面。比如 $29\dfrac{499}{940}$，在算筹上就是上排 499、下排 940，旁边另摆整数 29。这跟今天横着写 $\frac{499}{940}$ 意思完全一样，只是排布方向不同。也就是说，中国古代的分数是"竖着写"的；欧洲要到阿拉伯数学传入之后才普遍用横线。这一条，东西方算是殊途同归。

约分术：怎么把一个大分数变小。

《九章算术·方田》章给约分定了一套程序，原文是：

可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

翻译过来：分子分母都能被 2 整除，就先同时除以 2；不能整除，就把分子和分母并排放着，用大的减小的，反复减下去，直到两数相等为止；这个相等的数就是最大公约数，古人叫"等数"，拿它去约分。

这个"更相减损"，就是今天的辗转相除法，也就是欧几里得算法。两者只有形式上的差别——一个用减法，一个用除法，本质是同一个递归过程。这是中国古代数学对世界的硬核贡献之一，比欧洲早了大约一千五百年。

带分数和假分数。

带分数 $a\dfrac{b}{c}$ 化成假分数，公式是

$$a\frac{b}{c} = \frac{ac + b}{c} \qquad (4)$$

反过来，假分数 $\dfrac{m}{n}$ 化成带分数，就是拿 $m$ 去除 $n$：商是整数部分，余数当新分子，分母不变。这两下子是分数运算里最基本的"变形"，古人也用得极熟。

示意图

天文计算中的分数——左边是四分历的回归年与朔望月长度，右边是古人做分数运算的三样基本技巧：通分、约分、带分数与假分数互化。

古人的算法：三个算例

光看公式不算会，拿到手能算出来才算会。下面三个例子，数字全部来自《周髀算经》的四分历体系。

算例一：朔望月为什么是 $29\dfrac{499}{940}$

这个分数不是凑的，是推出来的。

四分历有两条基本假设：一年 $= 365\dfrac{1}{4}$ 天；十九年七个闰月，也就是 19 个回归年恰好等于 235 个朔望月。

先算 19 年一共多少天：

$$19 \times \frac{1461}{4} = \frac{27759}{4} \qquad (5)$$

19 年有 235 个月，所以一个月是

$$\frac{27759}{4} \div 235 = \frac{27759}{4 \times 235} = \frac{27759}{940} \qquad (6)$$

再把 $\dfrac{27759}{940}$ 化成带分数：

$$\frac{27759}{940} = 29 + \frac{27759 - 29 \times 940}{940} = 29 + \frac{499}{940} \qquad (7)$$

因为 $29 \times 940 = 27260$，而 $27759 - 27260 = 499$。看，499 和 940 一个不差地出来了：$940 = 4 \times 235$ 来自"十九年二百三十五个月"，而 499 就是除出来的余数。

验算一下：$\dfrac{27759}{940} = 29.53085\ldots$ 天，与现代朔望月 29.53059 天只差约 22 秒。两千年前能算到这一步，够狠了。

算例二：一年有多少个朔望月

这个除法会把"十九年七闰"逼出来。

一年的月数 = 一年的天数 ÷ 一个月的天数：

$$\frac{1461}{4} \div \frac{27759}{940} = \frac{1461}{4} \times \frac{940}{27759} \qquad (8)$$

分数除法就是颠倒相乘。接着把分子分母各自乘开：

$$\frac{1461 \times 940}{4 \times 27759} = \frac{1373340}{111036} \qquad (9)$$

现在约分。用更相减损术（也就是辗转相除法）求 $1373340$ 与 $111036$ 的最大公约数，得到 $5844$（因为 $5844 \times 235 = 1373340$，$5844 \times 19 = 111036$）。于是分子分母同时约掉 5844：

$$\frac{1373340}{111036} = \frac{235}{19} \qquad (10)$$

最后把 $\dfrac{235}{19}$ 写成带分数：

$$\frac{235}{19} = 12 + \frac{7}{19} = 12\frac{7}{19} \qquad (11)$$

因为 $19 \times 12 = 228$，$235 - 228 = 7$。

结论：一年有 $12\dfrac{7}{19}$ 个朔望月。 整数部分 12 说明一年有 12 个月；余下的 $\dfrac{7}{19}$ 说明每 19 年会积出 $19 \times \dfrac{7}{19} = 7$ 个多出来的月——这就是"十九年七闰"。注意：这个规矩不是背下来的，是分数运算自己跑出来的。

顺带对一下示意图里的数：$\dfrac{235}{19} \approx 12.3684$，与"$365.25 \div 29.53 \approx 12.37$"完全吻合。

算例三：十九年七闰到底有多准（历法周期验算）

章法再漂亮，也得跟天对上账。

按四分历自己的设定，19 年 $=235$ 个月是严格相等的：

$$19 \times \frac{1461}{4} = \frac{27759}{4} = 6939.75 \text{ 天}, \qquad 235 \times \frac{27759}{940} = \frac{27759}{4} = 6939.75 \text{ 天} \qquad (12)$$

两边分毫不差。这说明四分历内部是自洽的——不是巧合，因为 $\dfrac{27759}{940}$ 本来就是这么反推出来的。

但"内部自洽"不等于"跟天对上"。拿现代观测值来检验：

$$19 \times 365.2422 = 6939.6018 \text{ 天}, \qquad 235 \times 29.530589 = 6939.6884 \text{ 天} \qquad (13)$$

两者相差

$$6939.6884 - 6939.6018 = 0.0866 \text{ 天} \approx 2.1 \text{ 小时} \qquad (14)$$

也就是说，每 19 年，朔望月和回归年之间会滑掉大约 2 小时。 而四分历自己取的回归年 365.25 天，比真实值每年多了

$$365.25 - 365.2422 = 0.0078 \text{ 天} \qquad (15)$$

攒上 1000 年就是 $0.0078 \times 1000 = 7.8$ 天。历史上四分历用了三四百年之后，历书上算的冬至跟实际观测的冬至就对不上了，逼着后人一次次改历。这个"对不上"的账，正是古人用分数一点一点算出来的。

连分数：用一串整数逼近一个数

一个除不尽的数，最好的处理办法是拿一串越来越准的分数去逼近它；而连分数能告诉你哪几个分数最值得取。

把 365.2422 展开成连分数，得到

$$365.2422 = [365;\ 4,\ 7,\ 1,\ 3,\ 4,\ldots] \qquad (16)$$

每截断一次，就给出一个逼近分数，数学上叫"收敛项"。依次算出来是：

收敛项	数值	每年误差
$\dfrac{1461}{4}$	$365.25$	$+0.0078$ 天
$\dfrac{10592}{29}$	$365.2414$	$-0.0008$ 天
$\dfrac{12053}{33}$	$365.24242$	$+0.00022$ 天
$\dfrac{46751}{128} = 365 + \dfrac{31}{128}$	$365.2421875$	$-0.0000125$ 天

注意第一行：$\dfrac{1461}{4}$ 就是四分历。 它排在连分数的最前面，说明四分历是"最粗但最省事"的一个近似——误差一年 0.0078 天，四年才攒出 0.03 天，日常生活根本看不出来。而 $\dfrac{31}{128}$ 已经好到每年只差 1.08 秒，对应的正是历史上用过的"一百二十八年三十一闰"。古人没有连分数的理论，但他们在反复调历的过程中，实际上就是沿着这条链在往前走。

分数近似的巅峰：祖冲之的密率

一个分数能逼近到什么程度，取决于你把分子分母放到多大；这条路的尽头，站着 355/113。

圆周率 $\pi$ 是无理数，写不成有限分数，只能逼近。中国古代给出的值，正好是一条清晰的升级线：

• 周三径一（古率）：$\pi \approx 3$，误差约 $0.1416$；
• 徽率（刘徽）：$\pi \approx 3.14 = \dfrac{157}{50}$，误差约 $0.0016$；
• 祖冲之：约率 $\dfrac{22}{7} \approx 3.142857$，密率 $\dfrac{355}{113} \approx 3.14159292$。

密率的误差是多少？

$$\left| \frac{355}{113} - \pi \right| = |3.141592920 - 3.141592654| \approx 2.7 \times 10^{-7} \qquad (17)$$

小数点后六位都对上了。 而 $\dfrac{22}{7}$ 的误差是 $1.26 \times 10^{-3}$，密率比它准了四千多倍。

为什么偏偏是 355/113？因为 $\pi$ 的连分数是

$$\pi = [3;\ 7,\ 15,\ 1,\ 292,\ldots] \qquad (18)$$

它的收敛项依次是 $\dfrac{22}{7}$、$\dfrac{333}{106}$、$\dfrac{355}{113}$。其中 15 这个数比较大，意味着 $\dfrac{22}{7}$ 之后紧跟着一个特别好的近似——$\dfrac{355}{113}$ 就是在这一步蹦出来的。分母只有三位数，精度却达到了小数点后六位；欧洲要到一千一百多年之后，才有人重新得到同样精度的结果。

你看，从四分历的 $\dfrac{1461}{4}$ 到祖冲之的 $\dfrac{355}{113}$，用的是同一套功夫：把不能整除的量写成分数，然后一代一代往上逼近。 这就是为什么我们要用整整一讲来讲分数——它不是初中阶段的过渡章节，而是中国古代数学真正的主战场。

现代数学视角

古代的分数运算，与今天高中所学的代数运算是一回事，只是载体不同。

古人做分数，做的其实是三件事：通分（统一分母，才能加减）、约分（求最大公约数）、化带分数为假分数（统一形式，才能乘除）。这三件事串起来，就是今天分式运算的全部骨架。

只要把数换成含字母的式子，分数就变成分式，运算规则一字不变：

$$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{x^2 - 1} \qquad (19)$$

这一步"通分再合并"，和古人把 $\dfrac{499}{940}$ 通分是同一个动作，只是分母从 940 换成了 $(x-1)(x+1)$。

再往上走，分式运算还会变成积分的基本工具：

$$\int \frac{1}{x^2 - 1}\, dx = \int \frac{1}{2}\left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) dx \qquad (20)$$

这叫部分分式分解，核心思想是"把一个大分式拆成几个简单分式之和"——而拆分的合法性，靠的仍然是通分反过来用。

在高中数学体系里的位置

思想延伸：从"更相减损术"求最大公约数，到用连分数逼近无理数，体现的是逼近与化归两大思想——把一个量化归成更简单的形式，或者用一族越来越精的近似去逼近它。这两条思想在解析几何（用切线逼近曲线）、数列（递推与极限）里会反复出现。

运算练兵场：分式的化简与求值、通分、约分、带分数与假分数互化。这是整册教材里出现频率最高、也最容易掉分的操作。

综合题常客：分式与不等式、分式与数列、部分分式与求和。比如裂项相消 $\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$，用的正是"把一个大分式拆成两个简单分式之差"的同一门手艺。

思考与拓展

1. 用更相减损术（辗转相除法）求 $1071$ 与 $462$ 的最大公约数，并说明这个算法为什么一定会停下来。
2. 四分历取一年 $365.25$ 天，每 1000 年多算 $7.8$ 天。如果改用"一百二十八年三十一闰"，也就是一年 $365 + \dfrac{31}{128}$ 天，1000 年后累积误差又是多少天？
3. 把 $\dfrac{235}{19}$ 化成小数（保留 4 位），验证它等于"一年 $12\dfrac{7}{19}$ 个月"；再用它算出 19 年、38 年各有多少个闰月。
4. 已知 $\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$，求 $\dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \cdots + \dfrac{1}{19 \times 20}$ 的值。

一句话总结

分数运算——古代天文学家算准日月周期的看家本领；从四分历的 1461/4 到祖冲之的 355/113，中国数学的精度就藏在这些分子分母里，而它今天仍然是代数运算的第一块基石。